Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere x, y, z inteiros.
Se 3 x é par, então x é par.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se 3x é par, então x é par”, onde x é inteiro. O conteúdo é teoria de paridade (números pares e ímpares) e vamos usar definição de paridade e argumento por contradição ou contrapositive.

Passo 2

Definimos:
– Um inteiro x é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que x=2k.
– Um inteiro x é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que x=2k+1.

Passo 3

Suponha, por contradição, que 3x seja par e que x seja ímpar. Então existe k\in\mathbb{Z} com
x = 2k+1.
Multiplicando por 3,
3x = 3(2k+1) = 6k + 3 = 2(3k+1) + 1,
o que mostra que 3x é ímpar. Isso contraria a hipótese de que 3x é par.

Passo 4

Como a suposição de que x é ímpar leva a uma contradição, concluímos que, sempre que 3x é par, x não pode ser ímpar, ou seja, x deve ser par.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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