Para as afirmações abaixo, prove (para as verdadeiras) ou apresente um contraexemplo (para as falsas). Considere
inteiros.
Se
é par, então
é par.
Se
Passo 1
O enunciado afirma: “Se
é par, então
é par”, onde
é inteiro. O conteúdo é teoria de paridade (números pares e ímpares) e vamos usar definição de paridade e argumento por contradição ou contrapositive.
Passo 2
Definimos:
– Um inteiro é par se existe
tal que
.
– Um inteiro é ímpar se existe
tal que
.
– Um inteiro
– Um inteiro
Passo 3
Suponha, por contradição, que
seja par e que
seja ímpar. Então existe
com
Multiplicando por 3,
o que mostra que
é ímpar. Isso contraria a hipótese de que
é par.
Passo 4
Como a suposição de que
é ímpar leva a uma contradição, concluímos que, sempre que
é par,
não pode ser ímpar, ou seja,
deve ser par.
Resposta
A afirmação é verdadeira.