Quais das afirmações abaixo são verdadeiras, e quais são falsas? Justifique.
a)
e
b) Se
, para todo vetor
do espaço, então
.
c) Os vetores
e
são ortogonais para todo
.
a)
b) Se
c) Os vetores
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre o produto escalar e pede para cada uma decidir se é verdadeira ou falsa. Vamos usar a definição de produto escalar em
, a propriedade de que
caracteriza ortogonalidade, e contra-exemplos quando necessário.
Passo 2
Analisando (a): “
se, e somente se,
e
.”
– Direção “ ”: se
, então nem
nem
podem ser o vetor zero, pois
para todo
. Essa parte está certa.
– Direção “ ”: se
e
, não garante
; por exemplo, em
tome
e
, ambos não-nulos mas
– Direção “
– Direção “
Logo a bicondicional falha na recíproca e (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
para todo vetor
, então
.”
Suponha, por contradição, que . Então existe alguma componente não-nula, digamos
. Escolha
que tenha só essa componente não-nula,
e
para
. Teremos
Suponha, por contradição, que
contrariando “
para todo
”. Portanto
deve ser o vetor zero. Assim, (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): “
e
são ortogonais para todo
.”
Calcule o produto escalar:
Calcule o produto escalar:
Para serem ortogonais precisaríamos
. O discriminante é
logo a equação não tem solução real. Não há nenhum
que torne o produto escalar zero, muito menos “todo”
. Assim (c) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa