Quais das afirmações abaixo são verdadeiras, e quais são falsas? Justifique.
a) u cdot v neq 0 Long<=ftrightarrow u neq 0 e v neq 0
b) Se u cdot v=0, para todo vetor v do espaço, então u=0.
c) Os vetores u=(x, 2,4) e v=(x,-2 x, 3) são ortogonais para todo x in R.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre o produto escalar e pede para cada uma decidir se é verdadeira ou falsa. Vamos usar a definição de produto escalar em R^n, a propriedade de que vec ucdotvec v=0 caracteriza ortogonalidade, e contra-exemplos quando necessário.

Passo 2

Analisando (a): “ ucdotvneq 0 se, e somente se, uneq 0 e vneq 0.”
– Direção “ Rightarrow”: se vec ucdotvec vneq0, então nem vec u nem vec v podem ser o vetor zero, pois 0cdotvec v=0 para todo vec v. Essa parte está certa.
– Direção “ Leftarrow”: se vec uneq0 e vec vneq0, não garante vec ucdotvec vneq0; por exemplo, em R^2 tome vec u=(1,0) e vec v=(0,1), ambos não-nulos mas
vec ucdotvec v = 1cdot0 + 0cdot1 = 0
Logo a bicondicional falha na recíproca e (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se ucdotv=0 para todo vetor vec v, então vec u=0.”
Suponha, por contradição, que vec uneq0. Então existe alguma componente não-nula, digamos uineq0. Escolha vec v que tenha só essa componente não-nula, vi=1 e vj=0 para jneq i. Teremos
vec ucdotvec v = ui cdot 1 = ui neq 0,
contrariando “ vec ucdotvec v=0 para todo vec v”. Portanto vec u deve ser o vetor zero. Assim, (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): “ u=(x,2,4) e v=(x,-2x,3) são ortogonais para todo xinR.”
Calcule o produto escalar:
vec ucdotvec v = xcdot x + 2cdot(-2x) + 4cdot3 = x^2 - 4x + 12
Para serem ortogonais precisaríamos x^2 -4x +12 = 0. O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot12 = 16 - 48 = -32 < 0,
logo a equação não tem solução real. Não há nenhum x que torne o produto escalar zero, muito menos “todo” x. Assim (c) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa

Exercícios relacionados