Quais das afirmações abaixo são verdadeiras, e quais são falsas? Justifique.
(a) e .
(b) Se , para todo vetor do espaço, então .
(c) Os vetores e não são ortogonais para todo .
(d) Existe um número real para o qual a área do paralelogramo de vértices e seja igual a 4.
(e) Se e são vetores LI do espaço, então os vetores também são LI.
(f) Se as coordenadas dos vértices de um paralelogramo do espaço são números inteiros, então sua área é um número inteiro.
Passo 1
O enunciado traz uma sequência de afirmações sobre produto interno, ortogonalidade, área de paralelogramo e independência linear em espaços vetoriais. Vamos usar: propriedades de produto interno (não degenerescência), resolução de equação quadrática para ortogonalidade, fórmula da área de paralelogramo via produto vetorial e critério de independência linear.
Passo 2
Analisando (a): a afirmação é
Se então, de fato, nem nem podem ser nulos. Mas o inverso falha: é possível ter e com (vetores não nulos ortogonais). Logo a bicondicional é falsa.
Passo 3
Analisando (b): se para todo , então . Este é o teorema da não degenerescência do produto interno em espaços reais: só o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): , .
Resolvendo dá discriminante , sem raízes reais. Logo nunca são ortogonais para , afirmativa verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): tomamos dois lados do paralelogramo saindo de
alphavec u +(beta+gamma)vec v +(beta-gamma)vec w=0
Como vec u,vec v,vec w são LI, alpha=0, beta+gamma=0, beta-gamma=0. Dessas beta=gamma=0. Logo vec u,vec v+vec w,vec v-vec w é LI. Afirmação verdadeira.
Passo 7
Analisando (f): se os vértices de um paralelogramo têm coordenadas inteiras, os vetores de lados têm coordenadas inteiras, então o produto vetorial tem componentes inteiras mas sua norma é raiza^2+b^2+c^2, que pode não ser inteiro. Exemplo em R^3: lados (1,0,0) e (1,1,1) dão área raiz2. Afirmação falsa.