Quais das afirmações abaixo são verdadeiras, e quais são falsas? Justifique.
(a) lang<=u, vrang<= neq 0 Long<=ftrightarrow u neq 0 e v neq 0.
(b) Se lang<=u, vrang<==0, para todo vetor v do espaço, então u=0.
(c) Os vetores u=(x, 2,4) e v=(x,-2 x, 3) não são ortogonais para todo x in R.
(d) Existe um número real lambda para o qual a área do paralelogramo A B D C de vértices A=(1,4,1), B=(2,3,2) e C=(4,5, lambda) seja igual a 4.
(e) Se u, v e w são vetores LI do espaço, então os vetores u, v+w e v-w também são LI.
(f) Se as coordenadas dos vértices de um paralelogramo do espaço são números inteiros, então sua área é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado traz uma sequência de afirmações sobre produto interno, ortogonalidade, área de paralelogramo e independência linear em espaços vetoriais. Vamos usar: propriedades de produto interno (não degenerescência), resolução de equação quadrática para ortogonalidade, fórmula da área de paralelogramo via produto vetorial e critério de independência linear.

Passo 2

Analisando (a): a afirmação é
lang<= vec u,vec vrang<= neq 0 Long<=ftrightarrow vec uneqvec 0 e vec vneqvec 0
Se lang<= vec u,vec vrang<=neq0 então, de fato, nem vec u nem vec v podem ser nulos. Mas o inverso falha: é possível ter vec uneqvec 0 e vec vneqvec 0 com lang<= vec u,vec vrang<==0 (vetores não nulos ortogonais). Logo a bicondicional é falsa.

Passo 3

Analisando (b): se lang<= vec u,vec vrang<==0 para todo vec v, então vec u=vec 0. Este é o teorema da não degenerescência do produto interno em espaços reais: só o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): vec u=(x,2,4), vec v=(x,-2x,3).
lang<= vec u,vec vrang<= = xcdot x + 2cdot(-2x)+4cdot3 = x^2 -4x+12
Resolvendo x^2-4x+12=0 dá discriminante De<a=16-48=-32<0, sem raízes reais. Logo nunca são ortogonais para xin R, afirmativa verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): tomamos dois lados do paralelogramo saindo de
A=(1,4,1), B=(2,3,2), C=(4,5,lambda)
Então
AB=(1,-1,1), AC=(3,1,lambda-1)
e
ABtimesAC = i& j& k 1&-1&1 3&1&lambda-1 =(-lambda,,-lambda+4,,4)
O quadrado da área é
|ABtimesAC|^2 =lambda^2+(!-lambda+4!)^2+4^2 =2lambda^2-8lambda+32
Para área 4 teríamos
2lambda^2-8lambda+32=16 ;Longrightarrow; lambda^2-4lambda+8=0,
mas o discriminante é 16-32=-16<0. Não há lambdain R. Afirmação falsa.

Passo 6

Analisando (e): se vec u,vec v,vec w são LI e
alphavec u+beta(vec v+vec w)+gamma(vec v-vec w)=0,
então
alphavec u +(beta+gamma)vec v +(beta-gamma)vec w=0
Como vec u,vec v,vec w são LI,
alpha=0, beta+gamma=0, beta-gamma=0. Dessas beta=gamma=0. Logo vec u,vec v+vec w,vec v-vec w é LI. Afirmação verdadeira.

Passo 7

Analisando (f): se os vértices de um paralelogramo têm coordenadas inteiras, os vetores de lados têm coordenadas inteiras, então o produto vetorial tem componentes inteiras mas sua norma é raiza^2+b^2+c^2, que pode não ser inteiro. Exemplo em R^3: lados (1,0,0) e (1,1,1) dão área raiz2. Afirmação falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Falsa

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