Considere os vetores u=(1,-1,1) e v=(4,0,-3). Obtenha os dois vetores unitários tais que cada um faz um ângulo de 30^circ com o vetor u e um ângulo theta0 com o vetor v, sabendo que cos theta0=2 / 5.

Passo 1

Vamos traduzir as condições em equações vetoriais. Queremos um vetor unitário vec x=(x,y,z) tal que
  1. o ângulo entre vec x e vec u=(1,-1,1) seja 30^circ, ou seja
cos 30^circ = vec xcdotvec u|vec x|,|vec u|
  1. o ângulo entre vec x e vec v=(4,0,-3) tenha cosseno tfrac25, ou seja
25 = vec xcdotvec v|vec x|,|vec v|
  1. vec x seja unitário: |vec x|=1.
Como |vec u|=raiz1^2+(-1)^2+1^2=raiz3 e |vec v|=raiz4^2+0^2+(-3)^2=5, essas três condições viram:
vec xcdotvec u = raiz3cdotcos30^circ = raiz3cdot tfracraiz32 = tfrac32,[6pt] vec xcdotvec v = 5cdottfrac25 = 2,[6pt] |vec x|^2 = x^2+y^2+z^2 =1 ]

Passo 2

Escrevendo
Da primeira, (y = x + z - \tfrac32]. Da segunda,

Passo 3

Substituímos x e y em função de z na condição |vec x|^2=1.
x = 2+3z4, y = x + z - tfrac32 = 7z - 44
Então
l(tfrac2+3z4r)^2 + l(tfrac7z-44r)^2 + z^2 =1

Passo 4

Multiplicando por 16 e juntando termos obtemos uma equação quadrática em z:
(2+3z)^2 + (7z-4)^2 + 16z^2 = 16 ;Longrightarrow; 37z^2 -22z +2 =0
Resolvendo pelo discriminante:
z = 22 pm raiz22^2 -4cdot37cdot22cdot37 = 22 pm 2raiz4774 = 11 pm raiz4737

Passo 5

Para cada escolha do sinal pm, calculamos
x = 2+3z4, y = 7z-44,
de modo a obter os dois vetores unitários. Escrevendo tudo sobre o mesmo denominador 148, achamos
vec xpm = 1148l(,107 pm 3raiz47,;-71 pm 7raiz47,;44 pm 4raiz47r)

Resposta

boxed vec xpm = 1148l(,107 pm 3raiz47,;-71 pm 7raiz47,;44 pm 4raiz47r),
são os dois vetores unitários que satisfazem as condições do problema.

Exercícios relacionados