Sejam E=e1, e2, e3, F=f1, f2, f3 e G=g1, g2, g3 três bases com e1= raiz32 f1-12 f3, e2=12 f1+raiz32 f3, e3=f2 ; g1=e1+e2+e3, g2=e1+e2, g3=e1. Encontre todas as matrizes de mudança de base.

Passo 1

Vamos definir que, para duas bases quaisquer X e Y de R^3, a matriz de mudança de base
PY X
é aquela que leva as coordenadas de um vetor na base X para suas coordenadas na base Y. Ou seja, se [v]X são as coordenadas de v em X e [v]Y as de v em Y, então
[v]Y ;=; PY X,[v]X
No enunciado temos as relações entre as bases E e F, e entre G e E. Com elas podemos obter diretamente
PF E, PE G
e em seguida inverter para achar
PE F, PG E
Por fim compondo essas matrizes conseguimos também
PG F e PF G

Passo 2

Como
vec e1=tfracraiz32,vec f1-tfrac12,vec f3, vec e2=tfrac12,vec f1+tfracraiz32,vec f3, vec e3=vec f2,
os vetores de E têm, nas coordenadas da base F, os seguintes vetores-coluna. Logo
PF E = raiz32 & 12 & 0 0 & 0 & 1 -12 & raiz32 & 0

Passo 3

Invertendo essa matriz obtemos
PE F =l(PF Er)^-1 = raiz32 & 0 & -12 12 & 0 & raiz32 0 & 1 & 0

Passo 4

Das definições
vec g1=vec e1+vec e2+vec e3, vec g2=vec e1+vec e2, vec g3=vec e1,
vemos que nas coordenadas da base E as colunas são (1,1,1), (1,1,0) e (1,0,0). Assim
PE G = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 5

Invertendo esse último bloco, chegamos a
PG E =l(PE Gr)^-1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0

Passo 6

Para completar, fazemos as composições
PG F = PG E;PE F, PF G = PF E;PE G
Calculando essas multiplicações, obtemos
PG F = 0 & 1 & 0 12 & -1 & raiz32 raiz3-12 & 0 & -1+raiz32 ,
PF G = raiz3+12 & raiz3+12 & raiz32 1 & 0 & 0 raiz3-12 & raiz3-12 & -12

Resposta

(a) PF E= raiz32 & 12 & 0 0 & 0 & 1 -12 & raiz32 & 0
(b) PE F= raiz32 & 0 & -12 12 & 0 & raiz32 0 & 1 & 0
(c) PE G= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0
(d) PG E= 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0
(e) PG F= 0 & 1 & 0 12 & -1 & raiz32 raiz3-12 & 0 & -1+raiz32
(f) PF G= raiz3+12 & raiz3+12 & raiz32 1 & 0 & 0 raiz3-12 & raiz3-12 & -12

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