Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
(a) O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se
em
, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.
(a) O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.
Passo 1
O enunciado pede que identifique qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira. As alternativas são:
(a) O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se em
, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.
O objetivo é analisar cada afirmação, explicar os conceitos necessários para entender por que cada uma é verdadeira ou falsa, e indicar qual alternativa é a correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de forma bem didática o que é uma integral de linha e quando ela depende apenas dos pontos inicial e final.
- Integral de linha (forma diferencial): para um campo vetorial no plano dado por
, a integral de linha ao longo de uma curva é
quando
é fechada usamos o símbolo de circuito. Aqui
e
são funções que associam um número a cada ponto
.
- Campo conservativo: dizemos que
é conservativo (ou que é exata) em uma região se existe uma função potencial tal que
Se o campo for conservativo, então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final (pois
), e em particular a integral sobre qualquer curva fechada que seja contornável no domínio é zero.
- Condição necessária (mas atenção aos hipóteses): se
e têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa e se
então o campo é conservativo em
. A hipótese de “simply connected” (região simplesmente conexa) é importante — sem ela a igualdade das derivadas parciais pode não garantir que exista uma função potencial em toda a região.
Vou explicar Green e essas hipóteses em detalhe no próximo passo.
Passo 3
Agora, o Teorema de Green (forma prática e útil para provas):
Suponha que
seja uma curva fechada, simples (ou seja, sem autointerseções), orientada positivamente (sentido anti-horário), que delimita uma região
no plano. Suponha que
e
tenham derivadas parciais contínuas em um aberto que contém
. Então o Teorema de Green diz
Interpretação simples: a circulação do campo ao longo da fronteira
é igual à integral dupla do “rotor” (em 2D,
) sobre a região que
encerra.
Consequências práticas:
- Se
em , então o integrando da integral dupla é zero, logo
para curvas
que satisfaçam as hipóteses do teorema (simples, fechada, positiva, e
com derivadas contínuas em
).
- Se as hipóteses (simples, derivadas contínuas em toda a região interior, etc.) falham, não dá para aplicar Green diretamente; pode haver contra-exemplos dependendo da topologia do domínio.
Passo 4
Análise da alternativa (a): “O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.”
- Isso é falso. O enunciado do Teorema de Green exige que a curva
seja simples e que ela seja a fronteira de uma região onde e têm derivadas contínuas. Se a curva não for simples (por exemplo, tem autointerseções) ou não é fronteira de uma região bem definida, a forma direta do teorema não se aplica. Existem versões estendidas que tratam curvas com autointerseções decompondo-as em curvas simples, mas a afirmação “vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples” dita de forma absoluta é incorreta.
Passo 5
Análise da alternativa (b): “Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.”
- Isso também é falso em geral. A integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final somente se o campo for conservativo (ou seja, existir potencial
tal que ) no domínio considerado. Nem todo campo é conservativo. Exemplo rápido (intuitivo): um campo com “vórtice” (como um giro ao redor de um ponto) tem integrais sobre fechadas diferentes de zero, portanto depende do caminho. Conclusão: a afirmação genérica é falsa — falta a hipótese “campo conservativo” ou condições equivalentes.
Passo 6
Análise da alternativa (c): “Se
em
, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.”
- Essa afirmação, interpretada no contexto usual da disciplina (ou seja:
e têm derivadas parciais contínuas em e consideramos curvas fechadas simples que são fronteiras de sub-regiões contidas em ), é verdadeira e decorre diretamente do Teorema de Green. A demonstração imediata é:
- Observação importante (cuidado na prova): a afirmação precisa das hipóteses do teorema. Se o domínio
não for apropriado (por exemplo, se houver singularidades dentro da região ou se as derivadas não forem contínuas em todo o interior), a conclusão pode falhar. Um ponto comum de confusão em provas é esquecer a hipótese de que deve ser fronteira de uma região onde as derivadas existem e são contínuas. Mas no formato típico de questões de cálculo vetorial essa hipótese costuma estar implícita.
Portanto, entre as alternativas dadas, a que melhor se encaixa como correta é a (c), considerando as hipóteses padrão usadas para aplicar o Teorema de Green.
Passo 7
Análise da alternativa (d): “Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.”
- Isso é falso como afirmação absoluta. O Teorema de Fubini/Tonelli diz quando se pode trocar a ordem de integração: se a função for integrável absoluta (ou não-negativa) em um produto de domínios, então a integral dupla existe e as integrais iteradas podem ser trocadas. Se a função não for absolutamente integrável, trocar a ordem pode dar resultados diferentes ou não fazer sentido. Então a afirmação categórica “não podem ser trocadas” é falsa — muitas vezes podem, sob hipóteses bem conhecidas.
Passo 8
Análise da alternativa (e): “O Teorema de Green só vale para campos constantes.”
- Isso é falso. Green vale para uma grande classe de campos
que tenham derivadas parciais contínuas no domínio apropriado; não é necessário que e sejam constantes. Campos não constantes são tratados normalmente pelo Teorema de Green.
Resposta
(c)