Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
(a) O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} em D, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.

Passo 1

O enunciado pede que identifique qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira. As alternativas são:
(a) O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.
(b) Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
(c) Se \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} em D, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.
(d) Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.
(e) O Teorema de Green só vale para campos constantes.
O objetivo é analisar cada afirmação, explicar os conceitos necessários para entender por que cada uma é verdadeira ou falsa, e indicar qual alternativa é a correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de forma bem didática o que é uma integral de linha e quando ela depende apenas dos pontos inicial e final.
  • Integral de linha (forma diferencial): para um campo vetorial no plano dado por (P(x,y),Q(x,y)), a integral de linha ao longo de uma curva C é
\oint_C P\,dx + Q\,dy
quando C é fechada usamos o símbolo de circuito. Aqui P e Q são funções que associam um número a cada ponto (x,y).
  • Campo conservativo: dizemos que (P,Q) é conservativo (ou que P\,dx+Q\,dy é exata) em uma região D se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
Se o campo for conservativo, então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final (pois \int_C P\,dx+Q\,dy=\varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial})), e em particular a integral sobre qualquer curva fechada que seja contornável no domínio é zero.
  • Condição necessária (mas atenção aos hipóteses): se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa D e se
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\quad\text{em }D,
então o campo é conservativo em D. A hipótese de “simply connected” (região simplesmente conexa) é importante — sem ela a igualdade das derivadas parciais pode não garantir que exista uma função potencial em toda a região.
Vou explicar Green e essas hipóteses em detalhe no próximo passo.

Passo 3

Agora, o Teorema de Green (forma prática e útil para provas):
Suponha que C seja uma curva fechada, simples (ou seja, sem autointerseções), orientada positivamente (sentido anti-horário), que delimita uma região D no plano. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais contínuas em um aberto que contém D. Então o Teorema de Green diz
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretação simples: a circulação do campo ao longo da fronteira C é igual à integral dupla do “rotor” (em 2D, \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y) sobre a região que C encerra.
Consequências práticas:
  • Se \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} em D, então o integrando da integral dupla é zero, logo
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D 0\,dA = 0,
para curvas C que satisfaçam as hipóteses do teorema (simples, fechada, positiva, e P,Q com derivadas contínuas em D).
  • Se as hipóteses (simples, derivadas contínuas em toda a região interior, etc.) falham, não dá para aplicar Green diretamente; pode haver contra-exemplos dependendo da topologia do domínio.

Passo 4

Análise da alternativa (a): “O Teorema de Green vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples.”
  • Isso é falso. O enunciado do Teorema de Green exige que a curva C seja simples e que ela seja a fronteira de uma região D onde P e Q têm derivadas contínuas. Se a curva não for simples (por exemplo, tem autointerseções) ou não é fronteira de uma região bem definida, a forma direta do teorema não se aplica. Existem versões estendidas que tratam curvas com autointerseções decompondo-as em curvas simples, mas a afirmação “vale para qualquer curva fechada, mesmo não simples” dita de forma absoluta é incorreta.

Passo 5

Análise da alternativa (b): “Toda integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.”
  • Isso também é falso em geral. A integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final somente se o campo for conservativo (ou seja, existir potencial \varphi tal que d\varphi = P\,dx+Q\,dy) no domínio considerado. Nem todo campo é conservativo. Exemplo rápido (intuitivo): um campo com “vórtice” (como um giro ao redor de um ponto) tem integrais sobre fechadas diferentes de zero, portanto depende do caminho. Conclusão: a afirmação genérica é falsa — falta a hipótese “campo conservativo” ou condições equivalentes.

Passo 6

Análise da alternativa (c): “Se \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} em D, então a integral de linha sobre curvas fechadas é zero.”
  • Essa afirmação, interpretada no contexto usual da disciplina (ou seja: P e Q têm derivadas parciais contínuas em D e consideramos curvas fechadas simples que são fronteiras de sub-regiões contidas em D), é verdadeira e decorre diretamente do Teorema de Green. A demonstração imediata é:
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \iint_D 0\,dA = 0.
  • Observação importante (cuidado na prova): a afirmação precisa das hipóteses do teorema. Se o domínio D não for apropriado (por exemplo, se houver singularidades dentro da região ou se as derivadas não forem contínuas em todo o interior), a conclusão pode falhar. Um ponto comum de confusão em provas é esquecer a hipótese de que C deve ser fronteira de uma região onde as derivadas existem e são contínuas. Mas no formato típico de questões de cálculo vetorial essa hipótese costuma estar implícita.
Portanto, entre as alternativas dadas, a que melhor se encaixa como correta é a (c), considerando as hipóteses padrão usadas para aplicar o Teorema de Green.

Passo 7

Análise da alternativa (d): “Integrais iteradas não podem ser trocadas de ordem.”
  • Isso é falso como afirmação absoluta. O Teorema de Fubini/Tonelli diz quando se pode trocar a ordem de integração: se a função for integrável absoluta (ou não-negativa) em um produto de domínios, então a integral dupla existe e as integrais iteradas podem ser trocadas. Se a função não for absolutamente integrável, trocar a ordem pode dar resultados diferentes ou não fazer sentido. Então a afirmação categórica “não podem ser trocadas” é falsa — muitas vezes podem, sob hipóteses bem conhecidas.

Passo 8

Análise da alternativa (e): “O Teorema de Green só vale para campos constantes.”
  • Isso é falso. Green vale para uma grande classe de campos P,Q que tenham derivadas parciais contínuas no domínio apropriado; não é necessário que P e Q sejam constantes. Campos não constantes são tratados normalmente pelo Teorema de Green.

Resposta

(c)

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