c) (2,5 pontos) Resolva:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede a solução
que satisfaz a condição inicial. Especificamente:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
no domínio considerado e que, além disso, satisfaz
.
Informações dadas que usaremos: a equação está na forma linear de primeira ordem com coeficiente de
igual a
e termo independente igual a
. A incógnita é a função
;
denota a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar por que e como funciona, passo a passo.
Explicação didática do método:
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
, onde e são funções conhecidas e é a incógnita. - O objetivo do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada do produto . Ou seja, queremos . - Para que
ocorra, precisamos que . Isso é uma equação diferencial simples para , cuja solução é . - Depois de encontrar
, multiplicamos a equação original por , obtemos , integramos ambos os lados em e isolamos . Finalmente aplicamos a condição inicial para achar a constante de integração.
No nosso caso, compare com
: temos
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Explicação:
, mas o fator multiplicativo constante pode ser ignorado (ou incorporado na constante de integração depois), então escolhemos
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Começamos escrevendo a equação original:
Multiplicando por
:
Observação: no lado direito usei que
.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato:
Portanto a equação passa a ser
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (real). Explicação:
.
Passo 6
Isolar
:
Aqui
é o inverso de
, portanto multiplica-se ambos os lados por
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substituindo
e
na expressão geral:
Como
, segue
Passo 8
Substituir
na solução geral e simplificar:
Podemos escrever o fator
fora para ficar mais limpo.
Opcional (verificação rápida): pode-se derivar essa
e substituir na equação original para conferir que satisfaça
e também
. Isso reforça que o cálculo está correto.