c) (2,5 pontos) Resolva:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}+2 y=x e^{-2 x} \\ y(1)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede a solução y(x) que satisfaz a condição inicial. Especificamente:
  • Equação diferencial: \,y'+2y = x e^{-2x}\,.
  • Condição inicial: \,y(1)=0\,.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x no domínio considerado e que, além disso, satisfaz \,y(1)=0\,.
Informações dadas que usaremos: a equação está na forma linear de primeira ordem com coeficiente de y igual a 2 e termo independente igual a x e^{-2x}. A incógnita é a função y(x); y' denota a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar por que e como funciona, passo a passo.
Explicação didática do método:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão \,y'+p(x)y=q(x)\,, onde p(x) e q(x) são funções conhecidas e y=y(x) é a incógnita.
  • O objetivo do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo passe a ser a derivada do produto \mu(x)y(x). Ou seja, queremos \mu y)' = \mu y' + \mu' y.
  • Para que \mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu p y ocorra, precisamos que \mu' = \mu p. Isso é uma equação diferencial simples para \mu, cuja solução é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Depois de encontrar \mu, multiplicamos a equação original por \mu, obtemos (\mu y)' = \mu q, integramos ambos os lados em x e isolamos y. Finalmente aplicamos a condição inicial para achar a constante de integração.
No nosso caso, compare com \,y'+p(x)y=q(x)\,: temos p(x)=2 e q(x)=x e^{-2x}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Explicação: \int 2\,dx = 2x + C, mas o fator multiplicativo constante pode ser ignorado (ou incorporado na constante de integração depois), então escolhemos \mu(x)=e^{2x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Começamos escrevendo a equação original:
y'+2y = x e^{-2x}.
Multiplicando por e^{2x}:
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = x.
Observação: no lado direito usei que e^{2x}\cdot x e^{-2x} = x.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{2x}y. De fato:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.
Portanto a equação passa a ser
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx = \int x\,dx.
Isso dá
e^{2x}y = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração (real). Explicação: \int x\,dx = x^2/2 + C.

Passo 6

Isolar y(x):
y(x) = e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2} + C\right).
Aqui e^{-2x} é o inverso de e^{2x}, portanto multiplica-se ambos os lados por e^{-2x}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \,y(1)=0 para determinar C.
Substituindo x=1 e y(1)=0 na expressão geral:
0 = y(1) = e^{-2}\left(\frac{1^2}{2} + C\right) = e^{-2}\left(\frac{1}{2} + C\right).
Como e^{-2}\neq 0, segue
\frac{1}{2} + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{1}{2}.

Passo 8

Substituir C na solução geral e simplificar:
y(x) = e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x^2-1}{2}\,e^{-2x}.
Podemos escrever o fator 1/2 fora para ficar mais limpo.
Opcional (verificação rápida): pode-se derivar essa y(x) e substituir na equação original para conferir que satisfaça y'+2y = x e^{-2x} e também y(1)=0. Isso reforça que o cálculo está correto.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{x^{2}-1}{2}\,e^{-2x}

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