Seja \mathbf{F}(x, y)=(P, Q) um campo vetorial com P=x^{2}-y e Q=x+y^{2}. De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha \int_{C} P d x+Q d y, onde C é a fronteira positiva da região D, é igual a:
(a) \iint_{D}(2 x-2 y) d A
(b) \iint_{D}(1-1) d A
(c) \iint_{D}(1+1) d A
(d) \iint_{D}(1-(-1)) d A
(e) \iint_{D}(1-2 y) d A

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(P,Q) com
P=x^{2}-y e Q=x+y^{2}. Pede-se o valor da integral de linha
\displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy, onde C é a fronteira positiva da região D.
Fornecem-se alternativas em forma de integrais duplas sobre D e é preciso identificar qual delas é correta.

Passo 2

Vou usar a forma do Teorema de Green que transforma a integral de linha sobre a fronteira positiva (orientação no sentido anti-horário) numa integral dupla sobre a região interna:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando essa fórmula: \frac{\partial Q}{\partial x} significa a derivada parcial de Q em relação a x, tratando y como constante; \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, tratando x como constante. A expressão entre parênteses é chamada de componente rotacional (ou “curl” em 2D) do campo, e é o integrando da integral dupla.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=x+y^{2}:
  • a derivada de x em relação a x é 1,
  • a derivada de y^{2} em relação a x (com y constante) é 0.
    Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=1.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=x^{2}-y:
  • a derivada de x^{2} em relação a y (com x constante) é 0,
  • a derivada de -y em relação a y é -1.
    Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=-1.

Passo 5

Substituir na fórmula de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Portanto a integral de linha vale
\iint_{D} 2\,dA,
ou, escrevendo na forma apresentada nas alternativas,
\iint_{D}\bigl(1-(-1)\bigr)\,dA.
Observação prática: como o integrando é constante 2, a integral é 2 vezes a área de D, isto é \;2\iint_{D}dA.

Resposta

(d) \iint_{D}(1-(-1))\,dA

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