Seja
um campo vetorial com
e
. De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha
, onde
é a fronteira positiva da região
, é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial
com
e
. Pede-se o valor da integral de linha
, onde
é a fronteira positiva da região
.
Fornecem-se alternativas em forma de integrais duplas sobre e é preciso identificar qual delas é correta.
Fornecem-se alternativas em forma de integrais duplas sobre
Passo 2
Vou usar a forma do Teorema de Green que transforma a integral de linha sobre a fronteira positiva (orientação no sentido anti-horário) numa integral dupla sobre a região interna:
Explicando essa fórmula:
significa a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante;
é a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. A expressão entre parênteses é chamada de componente rotacional (ou “curl” em 2D) do campo, e é o integrando da integral dupla.
Passo 3
Calcular
. Como
:
- a derivada de
em relação a é , - a derivada de
em relação a (com constante) é .
Logo
Passo 4
Calcular
. Como
:
- a derivada de
em relação a (com constante) é , - a derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 5
Substituir na fórmula de Green:
Portanto a integral de linha vale
ou, escrevendo na forma apresentada nas alternativas,
Observação prática: como o integrando é constante
, a integral é
vezes a área de
, isto é
.
Resposta
(d)