Qual das afirmações está correta?
Escolha uma opção:
a. O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.
b. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.
c. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.
d. O produto de um vetor por um escalar é um escalar.
e. O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) está correta. As alternativas são:
a. O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.
b. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.
c. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.
d. O produto de um vetor por um escalar é um escalar.
e. O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.
b. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.
c. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.
d. O produto de um vetor por um escalar é um escalar.
e. O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar: as noções básicas de produto entre vetores (produto por escalar, produto escalar — também chamado de produto interno ou dot product — e produto vetorial — cross product), e o fato que existem também combinações como produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de dois vetores (o produto misto ou escalar triplo). Não há figura nem dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e entender o que é o produto de um vetor por um escalar. Isso é bem simples e é fundamental para descartar a alternativa (d).
Definição: se
é um vetor e
é um escalar (número), o produto
é um vetor. O que acontece é que multiplicamos cada componente de
por
; ou seja, o resultado tem a mesma direção de
(ou direção oposta se
) e seu comprimento é
vezes o comprimento de
.
Exemplo concreto: se
e
, então
que é claramente um vetor. Portanto a afirmação “O produto de um vetor por um escalar é um escalar” (alternativa d) é falsa.
Passo 3
Agora, vamos definir o produto escalar (também chamado produto interno ou dot product), que aparece na alternativa (b).
Definição: dados dois vetores
e
em
, o produto escalar é um número (escalares) definido por
onde
e
são as componentes de
e
. Geometricamente, também vale
onde
é o ângulo entre
e
, e
indica norma (comprimento) do vetor.
Observações didáticas:
- O produto escalar sempre produz um escalar (um número real).
- É definido em qualquer dimensão
. - Exemplo: se
e , então
um número.
Passo 4
Agora, o produto vetorial (cross product), mencionado na alternativa (c).
Definição: o produto vetorial
está definido apenas em
(entre dois vetores em 3D) e o resultado é um vetor em
perpendicular a
e
. Seu módulo é
onde
é o ângulo entre
e
. Portanto o produto vetorial produz um vetor, não um escalar.
Exemplo: se
e
, então
um vetor. Logo a alternativa (c) que diz que “o único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial” está claramente errada.
Passo 5
Existem outros produtos envolvendo vetores que merecem menção para evitar confusões (vai ajudar você na prova): o produto misto (ou escalar triplo) e o produto externo (outer product).
Produto misto (escalar triplo): dado
, o escalar
é um número (escalares). É chamado de escalar triplo porque envolve três vetores e resulta em escalar — ele mede volume orientado do paralelepípedo gerado por
.
Produto externo (outer product): dado
e
, o produto externo
é uma matriz
(um tensor), não um escalar. Então também não produz escalar (a menos que você faça contratações adicionais).
Conclusão didática rápida: entre produtos comuns,
- produto por escalar → vetor;
- produto escalar (
) entre dois vetores → escalar; - produto vetorial (
) entre dois vetores em → vetor; - produto misto (dot of cross) entre três vetores → escalar.
Passo 6
Agora avalio cada alternativa com base no que vimos:
a. “O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.” Falso — o produto escalar é exatamente um produto de vetor por vetor que dá escalar.
b. “O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.” Interpretação prática: se entendermos “produto de vetores” como um produto entre dois vetores, então o produto escalar é o único produto padrão entre dois vetores que produz um escalar. Outros produtos entre dois vetores (como o produto vetorial ou o produto externo) não produzem escalar. Note que existe o produto misto que produz escalar, mas ele envolve três vetores (é uma combinação dot e cross). Como a alternativa fala em “produto de vetores” de forma usual e simples (e as outras opções são claramente contraditórias), essa alternativa é a correta no contexto básico de álgebra vetorial elementar.
c. “O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.” Falso — o produto vetorial produz um vetor, não um escalar.
d. “O produto de um vetor por um escalar é um escalar.” Falso — produz um vetor.
e. “O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.” Falso — o produto escalar entre dois vetores produz um escalar, então não é sempre vetor.
Portanto, a alternativa correta, no sentido usual e elementar da questão, é a alternativa (b).
Passo 7
Resumo pedagógico rápido para a prova (decoração mental): quando a questão disser “produto de vetores” pense primeiro se estão falando de dois vetores ou mais; entre dois vetores, o produto escalar é o único que retorna número. Produto vetorial → vetor; produto por escalar → vetor; produto misto (três vetores) → escalar.
Resposta
b.