Qual das afirmações está correta?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.
\bigcirc b. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.
\bigcirc c. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.
\bigcirc d. O produto de um vetor por um escalar é um escalar.
\bigcirc e. O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) está correta. As alternativas são:
a. O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.
b. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.
c. O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.
d. O produto de um vetor por um escalar é um escalar.
e. O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar: as noções básicas de produto entre vetores (produto por escalar, produto escalar — também chamado de produto interno ou dot product — e produto vetorial — cross product), e o fato que existem também combinações como produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de dois vetores (o produto misto ou escalar triplo). Não há figura nem dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e entender o que é o produto de um vetor por um escalar. Isso é bem simples e é fundamental para descartar a alternativa (d).
Definição: se \mathbf{v} é um vetor e k é um escalar (número), o produto \,k\mathbf{v}\, é um vetor. O que acontece é que multiplicamos cada componente de \mathbf{v} por k; ou seja, o resultado tem a mesma direção de \mathbf{v} (ou direção oposta se k<0) e seu comprimento é |k| vezes o comprimento de \mathbf{v}.
Exemplo concreto: se \mathbf{v} = (2,1,0) e k = 3, então
k\mathbf{v} = 3(2,1,0) = (6,3,0),
que é claramente um vetor. Portanto a afirmação “O produto de um vetor por um escalar é um escalar” (alternativa d) é falsa.

Passo 3

Agora, vamos definir o produto escalar (também chamado produto interno ou dot product), que aparece na alternativa (b).
Definição: dados dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^n, o produto escalar é um número (escalares) definido por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i,
onde a_i e b_i são as componentes de \mathbf{a} e \mathbf{b}. Geometricamente, também vale
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, e \|\cdot\| indica norma (comprimento) do vetor.
Observações didáticas:
  • O produto escalar sempre produz um escalar (um número real).
  • É definido em qualquer dimensão \mathbb{R}^n.
  • Exemplo: se \mathbf{a}=(1,2,0) e \mathbf{b}=(3,-1,4), então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + 0\cdot 4 = 3 - 2 + 0 = 1,
um número.

Passo 4

Agora, o produto vetorial (cross product), mencionado na alternativa (c).
Definição: o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} está definido apenas em \mathbb{R}^3 (entre dois vetores em 3D) e o resultado é um vetor em \mathbb{R}^3 perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}. Seu módulo é
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Portanto o produto vetorial produz um vetor, não um escalar.
Exemplo: se \mathbf{a}=(1,0,0) e \mathbf{b}=(0,1,0), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (0,0,1),
um vetor. Logo a alternativa (c) que diz que “o único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial” está claramente errada.

Passo 5

Existem outros produtos envolvendo vetores que merecem menção para evitar confusões (vai ajudar você na prova): o produto misto (ou escalar triplo) e o produto externo (outer product).
Produto misto (escalar triplo): dado \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3, o escalar
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})
é um número (escalares). É chamado de escalar triplo porque envolve três vetores e resulta em escalar — ele mede volume orientado do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
Produto externo (outer product): dado \mathbf{a}\in\mathbb{R}^m e \mathbf{b}\in\mathbb{R}^n, o produto externo \mathbf{a}\mathbf{b}^\top é uma matriz m\times n (um tensor), não um escalar. Então também não produz escalar (a menos que você faça contratações adicionais).
Conclusão didática rápida: entre produtos comuns,
  • produto por escalar → vetor;
  • produto escalar ( \cdot) entre dois vetores → escalar;
  • produto vetorial ( \times) entre dois vetores em \mathbb{R}^3 → vetor;
  • produto misto (dot of cross) entre três vetores → escalar.

Passo 6

Agora avalio cada alternativa com base no que vimos:
a. “O produto de um vetor por um vetor nunca é um escalar.” Falso — o produto escalar é exatamente um produto de vetor por vetor que dá escalar.
b. “O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto escalar.” Interpretação prática: se entendermos “produto de vetores” como um produto entre dois vetores, então o produto escalar é o único produto padrão entre dois vetores que produz um escalar. Outros produtos entre dois vetores (como o produto vetorial ou o produto externo) não produzem escalar. Note que existe o produto misto que produz escalar, mas ele envolve três vetores (é uma combinação dot e cross). Como a alternativa fala em “produto de vetores” de forma usual e simples (e as outras opções são claramente contraditórias), essa alternativa é a correta no contexto básico de álgebra vetorial elementar.
c. “O único tipo de produto de vetores que produz um escalar é o produto vetorial.” Falso — o produto vetorial produz um vetor, não um escalar.
d. “O produto de um vetor por um escalar é um escalar.” Falso — produz um vetor.
e. “O produto de um vetor por um vetor é sempre um vetor.” Falso — o produto escalar entre dois vetores produz um escalar, então não é sempre vetor.
Portanto, a alternativa correta, no sentido usual e elementar da questão, é a alternativa (b).

Passo 7

Resumo pedagógico rápido para a prova (decoração mental): quando a questão disser “produto de vetores” pense primeiro se estão falando de dois vetores ou mais; entre dois vetores, o produto escalar é o único que retorna número. Produto vetorial → vetor; produto por escalar → vetor; produto misto (três vetores) → escalar.

Resposta

b.

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