Se um vetor tem uma componente de 10 m na direção +x, uma componente de 10 m na direção +y e uma componente de 5 m na direção +z, o módulo do vetor é
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \quad 15 \mathrm{~m}
\bigcirc b. 25 m
\bigcirc c. 0 m
\bigcirc d. 225 m
\bigcirc e. 20 m

Passo 1

O enunciado dá um vetor com três componentes e pede o módulo (comprimento) desse vetor. Informações fornecidas:
  • Componente na direção +x: 10\\ \mathrm{m}.
  • Componente na direção +y: 10\\ \mathrm{m}.
  • Componente na direção +z: 5\\ \mathrm{m}.
    Pergunta: Qual é o módulo do vetor?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um vetor em três dimensões, se escrevemos \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o módulo (ou comprimento) do vetor é dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Por que essa fórmula? É a extensão do Teorema de Pitágoras para 3D. Primeiro calculamos o comprimento da projeção no plano xy, que é \sqrt{v_x^2+v_y^2}. Esse valor é a “base” de um triângulo retângulo cujo outro cateto é v_z; aplicando Pitágoras novamente obtemos \sqrt{\left(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\right)^2+v_z^2}=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Aqui:
  • v_x é a componente na direção x,
  • v_y é a componente na direção y,
  • v_z é a componente na direção z.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor do enunciado: escrevemos \vec{v}=(10\\ \mathrm{m},\,10\\ \mathrm{m},\,5\\ \mathrm{m}). Então
\|\vec{v}\|=\sqrt{(10\\ \mathrm{m})^2+(10\\ \mathrm{m})^2+(5\\ \mathrm{m})^2}.

Passo 4

Calculemos os quadrados passo a passo:
(10\\ \mathrm{m})^2=100\\ \mathrm{m}^2,\qquad (10\\ \mathrm{m})^2=100\\ \mathrm{m}^2,\qquad (5\\ \mathrm{m})^2=25\\ \mathrm{m}^2.
Somando:
100\\ \mathrm{m}^2+100\\ \mathrm{m}^2+25\\ \mathrm{m}^2=225\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Agora a raiz quadrada:
\|\vec{v}\|=\sqrt{225\\ \mathrm{m}^2}=15\\ \mathrm{m},
porque 15^2=225. Respira—já chegamos ao valor do módulo.

Resposta

a. 15\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados