Dois vetores são traçados com as origens no mesmo ponto. Quando o ângulo que os vetores fazem entre si é aumentado de 20^{\circ}, o módulo do produto vetorial dos dois vetores dobra de valor. O ângulo inicial entre os vetores era aproximadamente
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 18^{\circ}
\bigcirc b. 45^{\circ}
\bigcirc c. 25^{\circ}
\bigcirc d. 90^{\circ}
\bigcirc e. 0^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que dois vetores são traçados com as origens no mesmo ponto. Quando o ângulo entre eles é aumentado em 20^\circ, o módulo do produto vetorial dos vetores dobra. A pergunta é: qual era aproximadamente o ângulo inicial entre os vetores?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O aumento no ângulo é de 20^\circ.
  • O módulo do produto vetorial dobra ao fazer esse aumento.
  • Precisamos encontrar o ângulo inicial (em graus) — o enunciado pede um valor aproximado entre as alternativas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o módulo do produto vetorial de dois vetores \vec{a} e \vec{b} (com origens coincidentes):
|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores, 0^\circ\le\theta\le180^\circ. Vou explicar rápido: o produto vetorial tem módulo igual ao produto das normas (tamanhos) dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles. O seno aparece porque o produto vetorial mede a área do paralelogramo formado pelos vetores, e essa área depende de quanto “perpendicular” um vetor é em relação ao outro — isso é \sin\theta.

Passo 3

Seja \theta o ângulo inicial entre os vetores. Pelo enunciado, ao aumentar o ângulo para \theta+20^\circ o módulo do produto vetorial dobra. Em fórmula:
|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin(\theta+20^\circ) = 2\;|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\theta.
Como |\vec{a}|\,|\vec{b}| é comum e não é zero (caso contrário o produto vetorial seria sempre zero), podemos cancelar esse fator e obter:
\sin(\theta+20^\circ) = 2\sin\theta.

Passo 4

Agora vamos desenvolver \sin(\theta+20^\circ) usando a identidade trigonométrica do seno da soma:
\sin(\theta+20^\circ) = \sin\theta\cos20^\circ + \cos\theta\sin20^\circ.
Substituindo na equação obtida:
\sin\theta\cos20^\circ + \cos\theta\sin20^\circ = 2\sin\theta.

Passo 5

Reorganizamos para isolar termos envolvendo \tan\theta. Passo a passo:
\cos\theta\sin20^\circ = 2\sin\theta - \sin\theta\cos20^\circ = \sin\theta\,(2 - \cos20^\circ).
Dividindo ambos os lados por \cos\theta (assumindo \cos\theta\neq0; se \cos\theta=0 então \theta=90^\circ, mas depois verificamos que não satisfaz), obtemos:
\sin20^\circ = \tan\theta\,(2 - \cos20^\circ).
Portanto
\tan\theta = \frac{\sin20^\circ}{2 - \cos20^\circ}.

Passo 6

Agora calculamos numericamente os valores de \sin20^\circ e \cos20^\circ. (Uso aproximações decimais suficientes para prova de graduação.)
\sin20^\circ \approx 0{,}342020,\qquad \cos20^\circ \approx 0{,}939693.
Substituindo:
\tan\theta \approx \frac{0{,}342020}{2 - 0{,}939693} = \frac{0{,}342020}{1{,}060307} \approx 0{,}322544.

Passo 7

Agora encontramos \theta tomando o arco-tangente (em graus):
\theta \approx \arctan(0{,}322544) \approx 17{,}9^\circ.
Arredondando para uma opção disponível, isso é aproximadamente 18^\circ.

Passo 8

Verificação rápida: testar \theta\approx18^\circ na equação original. \sin(18^\circ+20^\circ)=\sin38^\circ\approx0{,}6157. E 2\sin18^\circ \approx 2\cdot0{,}3090 = 0{,}6180. Os valores são muito próximos (diferença pequena por arredondamento), então a solução é consistente.

Resposta

a. 18^\circ

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