Dois vetores são traçados com as origens no mesmo ponto. Quando o ângulo que os vetores fazem entre si é aumentado de
, o módulo do produto vetorial dos dois vetores dobra de valor. O ângulo inicial entre os vetores era aproximadamente
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado diz que dois vetores são traçados com as origens no mesmo ponto. Quando o ângulo entre eles é aumentado em
, o módulo do produto vetorial dos vetores dobra. A pergunta é: qual era aproximadamente o ângulo inicial entre os vetores?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O aumento no ângulo é de
. - O módulo do produto vetorial dobra ao fazer esse aumento.
- Precisamos encontrar o ângulo inicial (em graus) — o enunciado pede um valor aproximado entre as alternativas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o módulo do produto vetorial de dois vetores
e
(com origens coincidentes):
onde
é o ângulo entre os vetores,
. Vou explicar rápido: o produto vetorial tem módulo igual ao produto das normas (tamanhos) dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles. O seno aparece porque o produto vetorial mede a área do paralelogramo formado pelos vetores, e essa área depende de quanto “perpendicular” um vetor é em relação ao outro — isso é
.
Passo 3
Seja
o ângulo inicial entre os vetores. Pelo enunciado, ao aumentar o ângulo para
o módulo do produto vetorial dobra. Em fórmula:
Como
é comum e não é zero (caso contrário o produto vetorial seria sempre zero), podemos cancelar esse fator e obter:
Passo 4
Agora vamos desenvolver
usando a identidade trigonométrica do seno da soma:
Substituindo na equação obtida:
Passo 5
Reorganizamos para isolar termos envolvendo
. Passo a passo:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
; se
então
, mas depois verificamos que não satisfaz), obtemos:
Portanto
Passo 6
Agora calculamos numericamente os valores de
e
. (Uso aproximações decimais suficientes para prova de graduação.)
Substituindo:
Passo 7
Agora encontramos
tomando o arco-tangente (em graus):
Arredondando para uma opção disponível, isso é aproximadamente
.
Passo 8
Verificação rápida: testar
na equação original.
. E
. Os valores são muito próximos (diferença pequena por arredondamento), então a solução é consistente.
Resposta
a.