Determine o domínio da função f sendo:
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{senh}(2 n) x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{senh}(2n)\,x^{n}
e pede o domínio da função f definida por essa série (isto é, o conjunto de valores de x para os quais a série converge).\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{coeficiente geral: }a_n=\operatorname{senh}(2n).
Nada mais foi dado; a tarefa é determinar para quais x a soma \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n converge.

Passo 2

Entendendo o tipo de série e a estratégia (aula rápida): a série dada é uma série de potências em x, com termos a_n x^n. Para séries de potências o que interessa é o raio de convergência R, tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. Uma forma prática e geral de obter R é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando o que aparece aí: \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} é o limite superior das raízes n-ésimas dos módulos dos coeficientes; na prática, quando a_n cresce de forma exponencial, essa \limsup captura a base exponencial. Nosso próximo passo é calcular essa \limsup para a_n=\operatorname{senh}(2n).

Passo 3

Expressão exata de \operatorname{senh}(2n) e manipulação algébrica:
\operatorname{senh}(2n)=\frac{e^{2n}-e^{-2n}}{2}.
Então
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{e^{2n}-e^{-2n}}{2}\right)^{1/n}.
Para facilitar o cálculo, fatoramos e^{2n} dentro da raiz:
\left(\frac{e^{2n}-e^{-2n}}{2}\right)^{1/n} =\left(e^{2n}\cdot\frac{1-e^{-4n}}{2}\right)^{1/n} =e^{2}\cdot\left(\frac{1-e^{-4n}}{2}\right)^{1/n}.

Passo 4

Calcular o \limsup. Observe que \frac{1-e^{-4n}}{2} tende para \tfrac{1}{2} quando n\to\infty, isto é, converge para uma constante positiva. Para uma sequência b_n que tende para uma constante positiva b>0, vale que b_n^{1/n}\to 1. Aplicando isso:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1-e^{-4n}}{2}\right)^{1/n}=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=e^{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard para obter o raio R:
R=\frac{1}{e^{2}}=e^{-2}.
Isto significa que a série de potências converge para todos os x tais que |x|<e^{-2} e diverge para |x|>e^{-2}. Ainda falta checar o caso das fronteiras |x|=e^{-2}.

Passo 6

Teste nos pontos da fronteira |x|=R. Primeiro x=e^{-2}. O termo geral da série é
\operatorname{senh}(2n)\,(e^{-2})^{n}=\frac{e^{2n}-e^{-2n}}{2}\,e^{-2n}=\frac{1-e^{-4n}}{2}.
Esse valor tende para \tfrac{1}{2} quando n\to\infty, logo os termos não tendem a zero, e portanto a série não pode convergir para x=e^{-2}. Agora x=-e^{-2}:
\operatorname{senh}(2n)\,(-e^{-2})^{n}=(-1)^{n}\frac{1-e^{-4n}}{2},
que oscila e não tende a zero (limites de subsequências são \pm\tfrac{1}{2}), então a série também diverge para x=-e^{-2}. Conclusão: nos pontos de fronteira a série diverge.

Passo 7

Conclusão final e interpretação prática (um empurrãozinho motivador): a série converge estritamente dentro do disco aberto de raio e^{-2} e diverge na fronteira e fora dela. Isso é típico de séries de potências com coeficientes que crescem exponencialmente — o raio de convergência é o inverso da base exponencial dos coeficientes. Você já tem a técnica: escrever o coeficiente em termos de exponenciais, extrair a parte exponencial dominante, calcular a raiz n-ésima e aplicar Cauchy–Hadamard. Vai te salvar na prova.

Resposta

Domínio (complexo): \{x\in\mathbb{C}:|x|<e^{-2}\}
Domínio (real): \left(-e^{-2},\,e^{-2}\right)

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