Determine o domínio da função
sendo:
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pede o domínio da função
definida por essa série (isto é, o conjunto de valores de
para os quais a série converge).\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
Nada mais foi dado; a tarefa é determinar para quais
a soma
converge.
Passo 2
Entendendo o tipo de série e a estratégia (aula rápida): a série dada é uma série de potências em
, com termos
. Para séries de potências o que interessa é o raio de convergência
, tal que a série converge para
e diverge para
. Uma forma prática e geral de obter
é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Explicando o que aparece aí:
é o limite superior das raízes
-ésimas dos módulos dos coeficientes; na prática, quando
cresce de forma exponencial, essa
captura a base exponencial. Nosso próximo passo é calcular essa
para
.
Passo 3
Expressão exata de
e manipulação algébrica:
Então
Para facilitar o cálculo, fatoramos
dentro da raiz:
Passo 4
Calcular o
. Observe que
tende para
quando
, isto é, converge para uma constante positiva. Para uma sequência
que tende para uma constante positiva
, vale que
. Aplicando isso:
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula de Cauchy–Hadamard para obter o raio
:
Isto significa que a série de potências converge para todos os
tais que
e diverge para
. Ainda falta checar o caso das fronteiras
.
Passo 6
Teste nos pontos da fronteira
. Primeiro
. O termo geral da série é
Esse valor tende para
quando
, logo os termos não tendem a zero, e portanto a série não pode convergir para
. Agora
:
que oscila e não tende a zero (limites de subsequências são
), então a série também diverge para
. Conclusão: nos pontos de fronteira a série diverge.
Passo 7
Conclusão final e interpretação prática (um empurrãozinho motivador): a série converge estritamente dentro do disco aberto de raio
e diverge na fronteira e fora dela. Isso é típico de séries de potências com coeficientes que crescem exponencialmente — o raio de convergência é o inverso da base exponencial dos coeficientes. Você já tem a técnica: escrever o coeficiente em termos de exponenciais, extrair a parte exponencial dominante, calcular a raiz
-ésima e aplicar Cauchy–Hadamard. Vai te salvar na prova.
Resposta
Domínio (complexo):
Domínio (real):
Domínio (real):