Determine o domínio da função
sendo:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o domínio (valores de
reais para os quais a série define uma função) da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (dada pela própria expressão):
é indefinido e
torna o denominador nulo. Portanto os termos para
e
não fazem sentido; a série, na prática, começa em
. Assim vamos trabalhar com
Passo 2
Estratégia para encontrar o domínio: para uma série de potências
o primeiro passo é achar o raio de convergência
. Vou usar a fórmula que liga os coeficientes
ao raio:
Breve explicação dessa fórmula: para séries de potências com termos
, a quantidade
mede, em média, quão rápido os coeficientes decrescem; o recíproco do limite superior (limsup) dessa sequência dá o raio
dentro do qual a série converge absolutamente (isto é, para
). Aqui
é conhecido e vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
. Temos
logo
Agora uso limites clássicos:
e
(porque qualquer sequência positiva
com
tem
). Portanto
e assim
Passo 4
Aplicando a fórmula do raio:
Interpretação: a série converge absolutamente para todos os
com
. Portanto o interior do domínio é
. Faltam agora analisar os pontos extremos
e
.
Passo 5
Análise em
. Substituindo
obtemos a série
Vou verificar convergência absoluta: considerar a série de valores absolutos
Uso o teste integral (a função
é positiva e decrescente para
). Calculo o integral
Fazendo a substituição
(então
) obtemos
Como o integral converge, pela comparação (ou teste integral) a série
converge. Logo a série original em
converge absolutamente (portanto converge). Conclusão:
pertence ao domínio.
Passo 6
Análise em
. Substituindo
obtemos
Simplificando os sinais:
portanto a série torna-se
Como já vimos no passo anterior,
converge, então a série em
também converge (na verdade absolutamente). Conclusão:
pertence ao domínio.
Passo 7
Juntando tudo: a série converge absolutamente para
e converge também em
. Portanto o conjunto de todos os
reais onde a série converge é o intervalo fechado