Determine o domínio da função f sendo:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n(\ln (n))^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o domínio (valores de x reais para os quais a série define uma função) da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n(\ln n)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral}=\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n(\ln n)^{2}}.
Observação importante (dada pela própria expressão): \ln 0 é indefinido e \ln 1=0 torna o denominador nulo. Portanto os termos para n=0 e n=1 não fazem sentido; a série, na prática, começa em n=2. Assim vamos trabalhar com
\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^{n}\quad\text{onde}\quad a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n(\ln n)^2}.

Passo 2

Estratégia para encontrar o domínio: para uma série de potências \sum_{n=2}^\infty a_n x^n o primeiro passo é achar o raio de convergência R. Vou usar a fórmula que liga os coeficientes a_n ao raio:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Breve explicação dessa fórmula: para séries de potências com termos a_n x^n, a quantidade |a_n|^{1/n} mede, em média, quão rápido os coeficientes decrescem; o recíproco do limite superior (limsup) dessa sequência dá o raio R dentro do qual a série converge absolutamente (isto é, para |x|<R). Aqui a_n é conhecido e vamos calcular \limsup |a_n|^{1/n}.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Temos
|a_n|=\frac{1}{n(\ln n)^2},
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|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n(\ln n)^2}\right)^{1/n}=\frac{1}{n^{1/n}(\ln n)^{2/n}}.
Agora uso limites clássicos: \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1 e \lim_{n\to\infty} (\ln n)^{2/n}=1 (porque qualquer sequência positiva b_n com \lim b_n=\infty tem b_n^{1/n}\to1). Portanto
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\frac{1}{1\cdot 1}=1,
e assim
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação: a série converge absolutamente para todos os x com |x|<1. Portanto o interior do domínio é (-1,1). Faltam agora analisar os pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 5

Análise em x=1. Substituindo x=1 obtemos a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1^{n}}{n(\ln n)^2}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n(\ln n)^2}.
Vou verificar convergência absoluta: considerar a série de valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}.
Uso o teste integral (a função f(x)=1/(x(\ln x)^2) é positiva e decrescente para x\ge2). Calculo o integral
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^2}.
Fazendo a substituição u=\ln x (então du=dx/x) obtemos
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\infty}=\frac{1}{\ln 2}<\infty.
Como o integral converge, pela comparação (ou teste integral) a série \sum_{n=2}^{\infty}1/(n(\ln n)^2) converge. Logo a série original em x=1 converge absolutamente (portanto converge). Conclusão: x=1 pertence ao domínio.

Passo 6

Análise em x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^2}.
Simplificando os sinais:
(-1)^{n+1}(-1)^{n}=(-1)^{2n+1}=(-1)^{1}=-1,
portanto a série torna-se
\sum_{n=2}^{\infty}-\frac{1}{n(\ln n)^2}=-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}.
Como já vimos no passo anterior, \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2) converge, então a série em x=-1 também converge (na verdade absolutamente). Conclusão: x=-1 pertence ao domínio.

Passo 7

Juntando tudo: a série converge absolutamente para |x|<1 e converge também em x=\pm1. Portanto o conjunto de todos os x reais onde a série converge é o intervalo fechado
[-1,1].

Resposta

[-1,1]

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