i) Determine o suporte da variável.
ii) Obtenha a função massa de probabilidade e a função de distribuição acumulada. Grafique-as.
iii) Calcule P(1 \leq X \leq 9), P(X \leq 4) e P(X=9).
Passo 1
O enunciado dá uma experiência: lançamento de um dado equilibrado com espaço amostral \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. Definimos a variável aleatória X por
X(\omega)=(\omega-3)^{2},\qquad \omega\in\Omega.
As perguntas são:
i) Determinar o suporte de X.
ii) Obter a função massa de probabilidade (pmf) de X e a função de distribuição acumulada (cdf) F_X. Pedem também que essas funções sejam grafadas.
iii) Calcular P(1\le X\le 9), P(X\le 4) e P(X=9).
Lista de informações relevantes que o enunciado deu:
O dado é equilibrado, logo cada face \omega\in\Omega tem probabilidade P(\{\omega\})=\dfrac{1}{6}.
A regra de transformação é X(\omega)=(\omega-3)^{2}.
Passo 2
Vamos calcular os valores de X(\omega) para cada \omega\in\Omega. Vou avaliar explicitamente cada caso (isso é mecânica direta: subtrair 3 e elevar ao quadrado).
Portanto os valores que X pode assumir (imagem de \Omega) são os números \{0,1,4,9\}. Observação: alguns valores aparecem mais de uma vez (por exemplo 1 aparece para \omega=2 e \omega=4).]
Passo 3
Definição útil: o suporte (ou imagem com probabilidade positiva) de uma variável aleatória discreta é o conjunto \{x:\;P(X=x)>0\}. Como cada face do dado tem probabilidade positiva (1/6), cada valor obtido na etapa anterior terá probabilidade positiva.
Assim o suporte de X é
\{0,\,1,\,4,\,9\}.
Passo 4
Agora vamos construir a função massa de probabilidade (pmf). Definição: a pmf p_X(x) é p_X(x)=P(X=x). Para uma variável definida por transformação de um dado equilibrado, calcula-se a probabilidade de um valor x contando quantas faces \omega geram esse x e multiplicando por 1/6.
Contagem das pré-imagens:
X=0 ocorre somente quando \omega=3: 1 caso → P(X=0)=\dfrac{1}{6}.
X=1 ocorre quando \omega=2 ou \omega=4: 2 casos → P(X=1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
X=4 ocorre quando \omega=1 ou \omega=5: 2 casos → P(X=4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
X=9 ocorre somente quando \omega=6: 1 caso → P(X=9)=\dfrac{1}{6}.
Explicando em palavras: a cdf é uma função em degraus (step function) que aumenta apenas nos pontos do suporte, com saltos de tamanho igual à probabilidade em cada ponto.]
Passo 6
Como grafar (instruções passo a passo — útil na prova se pedirem desenho à mão):
Gráfico da pmf (gráfico de massa): eixo horizontal com os valores 0,1,4,9 e eixo vertical com probabilidades. Colocar um ponto ou um segmento vertical discreto em cada posição:
ponto em (0,\tfrac{1}{6}),
ponto em (1,\tfrac{1}{3}),
ponto em (4,\tfrac{1}{3}),
ponto em (9,\tfrac{1}{6}).
Em desenho à mão, desenhar pequenos círculos preenchidos (ou barras estreitas) com essas alturas; rotular as alturas com \tfrac{1}{6} e \tfrac{1}{3}.
Gráfico da cdf (função de distribuição): desenhar uma função em degraus (função à direita constante entre saltos):
para x<0 desenhar F_X(x)=0,
no ponto x=0 ocorre um salto até F_X(0)=\tfrac{1}{6},
entre 0 e 1 manter F_X=\tfrac{1}{6},
em x=1 salto até F_X(1)=\tfrac{1}{2},
entre 1 e 4 manter F_X=\tfrac{1}{2},
em x=4 salto até F_X(4)=\tfrac{5}{6},
entre 4 e 9 manter F_X=\tfrac{5}{6},
em x=9 salto até F_X(9)=1, e para x\ge9 manter 1.
Dica prática para desenhar: marque no eixo x os pontos 0,1,4,9 claramente; no eixo y marque \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{6}, 1. Os saltos da cdf têm alturas que coincidem com as somas parciais das probabilidades.
Passo 7
Calcular as probabilidades pedidas.
P(1\le X\le 9). Como o suporte só tem os valores 0,1,4,9, a condição 1\le X\le 9 engloba X=1,4,9. Usando a pmf: