Considere a experiência do lançamento de um dado equilibrado. Sendo assim, definimos a variável aleatória X por
X(\omega)=(\omega-3)^{2}, \quad \omega \in \Omega .
i) Determine o suporte da variável.
ii) Obtenha a função massa de probabilidade e a função de distribuição acumulada. Grafique-as.
iii) Calcule P(1 \leq X \leq 9), P(X \leq 4) e P(X=9).

Passo 1

O enunciado dá uma experiência: lançamento de um dado equilibrado com espaço amostral \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. Definimos a variável aleatória X por
X(\omega)=(\omega-3)^{2},\qquad \omega\in\Omega.
As perguntas são:
  1. i) Determinar o suporte de X.
  2. ii) Obter a função massa de probabilidade (pmf) de X e a função de distribuição acumulada (cdf) F_X. Pedem também que essas funções sejam grafadas.
  3. iii) Calcular P(1\le X\le 9), P(X\le 4) e P(X=9).
Lista de informações relevantes que o enunciado deu:
  • O dado é equilibrado, logo cada face \omega\in\Omega tem probabilidade P(\{\omega\})=\dfrac{1}{6}.
  • A regra de transformação é X(\omega)=(\omega-3)^{2}.

Passo 2

Vamos calcular os valores de X(\omega) para cada \omega\in\Omega. Vou avaliar explicitamente cada caso (isso é mecânica direta: subtrair 3 e elevar ao quadrado).
\begin{aligned} X(1)&=(1-3)^{2}=(-2)^{2}=4,\\[4pt] X(2)&=(2-3)^{2}=(-1)^{2}=1,\\[4pt] X(3)&=(3-3)^{2}=0^{2}=0,\\[4pt] X(4)&=(4-3)^{2}=1^{2}=1,\\[4pt] X(5)&=(5-3)^{2}=2^{2}=4,\\[4pt] X(6)&=(6-3)^{2}=3^{2}=9. \end{aligned}
Portanto os valores que X pode assumir (imagem de \Omega) são os números \{0,1,4,9\}. Observação: alguns valores aparecem mais de uma vez (por exemplo 1 aparece para \omega=2 e \omega=4).]

Passo 3

Definição útil: o suporte (ou imagem com probabilidade positiva) de uma variável aleatória discreta é o conjunto \{x:\;P(X=x)>0\}. Como cada face do dado tem probabilidade positiva ( 1/6), cada valor obtido na etapa anterior terá probabilidade positiva.
Assim o suporte de X é
\{0,\,1,\,4,\,9\}.

Passo 4

Agora vamos construir a função massa de probabilidade (pmf). Definição: a pmf p_X(x) é p_X(x)=P(X=x). Para uma variável definida por transformação de um dado equilibrado, calcula-se a probabilidade de um valor x contando quantas faces \omega geram esse x e multiplicando por 1/6.
Contagem das pré-imagens:
  • X=0 ocorre somente quando \omega=3: 1 caso → P(X=0)=\dfrac{1}{6}.
  • X=1 ocorre quando \omega=2 ou \omega=4: 2 casos → P(X=1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • X=4 ocorre quando \omega=1 ou \omega=5: 2 casos → P(X=4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • X=9 ocorre somente quando \omega=6: 1 caso → P(X=9)=\dfrac{1}{6}.
Portanto a pmf é
\begin{aligned} p_X(0)&=P(X=0)=\dfrac{1}{6},\\[4pt] p_X(1)&=P(X=1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\\[4pt] p_X(4)&=P(X=4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\\[4pt] p_X(9)&=P(X=9)=\dfrac{1}{6}, \end{aligned}
e p_X(x)=0 para todo x\notin\{0,1,4,9\}.
Breve comentário didático: para uma variável discreta, a soma das probabilidades de todos os pontos do suporte deve ser 1. Verificação rápida:
\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}=1.]

Passo 5

Agora a função de distribuição acumulada F_X (cdf). Definição: para qualquer número real x,
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{t\le x} p_X(t),
soma sobre os pontos do suporte menores ou iguais a x.
Como o suporte é finito e ordenado, podemos escrever F_X por partes, observando os intervalos entre os valores do suporte:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & 0\le x <1,\\[6pt] \dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, & 1\le x<4,\\[6pt] \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}, & 4\le x<9,\\[6pt] 1, & x\ge 9. \end{cases}
Explicando em palavras: a cdf é uma função em degraus (step function) que aumenta apenas nos pontos do suporte, com saltos de tamanho igual à probabilidade em cada ponto.]

Passo 6

Como grafar (instruções passo a passo — útil na prova se pedirem desenho à mão):
  • Gráfico da pmf (gráfico de massa): eixo horizontal com os valores 0,1,4,9 e eixo vertical com probabilidades. Colocar um ponto ou um segmento vertical discreto em cada posição:
    • ponto em (0,\tfrac{1}{6}),
    • ponto em (1,\tfrac{1}{3}),
    • ponto em (4,\tfrac{1}{3}),
    • ponto em (9,\tfrac{1}{6}).
      Em desenho à mão, desenhar pequenos círculos preenchidos (ou barras estreitas) com essas alturas; rotular as alturas com \tfrac{1}{6} e \tfrac{1}{3}.
  • Gráfico da cdf (função de distribuição): desenhar uma função em degraus (função à direita constante entre saltos):
    • para x<0 desenhar F_X(x)=0,
    • no ponto x=0 ocorre um salto até F_X(0)=\tfrac{1}{6},
    • entre 0 e 1 manter F_X=\tfrac{1}{6},
    • em x=1 salto até F_X(1)=\tfrac{1}{2},
    • entre 1 e 4 manter F_X=\tfrac{1}{2},
    • em x=4 salto até F_X(4)=\tfrac{5}{6},
    • entre 4 e 9 manter F_X=\tfrac{5}{6},
    • em x=9 salto até F_X(9)=1, e para x\ge9 manter 1.
Dica prática para desenhar: marque no eixo x os pontos 0,1,4,9 claramente; no eixo y marque \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{6}, 1. Os saltos da cdf têm alturas que coincidem com as somas parciais das probabilidades.

Passo 7

Calcular as probabilidades pedidas.
  1. P(1\le X\le 9). Como o suporte só tem os valores 0,1,4,9, a condição 1\le X\le 9 engloba X=1,4,9. Usando a pmf:
P(1\le X\le 9)=P(X=1)+P(X=4)+P(X=9)=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}.
  1. P(X\le 4). Isso inclui X=0,1,4. Então
P(X\le 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=4)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}.
(Observação: neste caso deu o mesmo valor de P(1\le X\le 9), o que é coincidência do suporte.)
  1. P(X=9). Já obtivemos na pmf:
P(X=9)=\dfrac{1}{6}.

Resposta

i) [{0,,1,,4,,9})
ii) p_X(0)=\dfrac{1}{6},\; p_X(1)=\dfrac{1}{3},\; p_X(4)=\dfrac{1}{3},\; p_X(9)=\dfrac{1}{6}.
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{6}, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{1}{2}, & 1\le x<4,\\[6pt] \dfrac{5}{6}, & 4\le x<9,\\[6pt] 1, & x\ge 9. \end{cases}
iii) P(1\le X\le 9)=\dfrac{5}{6}\] \(P(X\le 4)=\dfrac{5}{6}
P(X=9)=\dfrac{1}{6}]

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