Uma agência bancária, com expediente de 10 hs até 16 hs , tem 2 gerentes (representados por G1 e G2, sendo Gx = 0 para indicar gerente AUSENTE, e Gx = 1 para indicar gerente PRESENTE). Por motivos de segurança, cada gerente possui uma chave do cofre, cuja abertura está submetida a restrições de tempo. Durante o expediente, qualquer gerente pode abrir o cofre. Entretanto, fora do expediente, é preciso a presença de ambos. O quadro abaixo apresenta os valores lógicos de duas variáveis (T16 e T10) que permitem identificar o horário de funcionamento:
T_{16} T_{10} Horário
0 0 Antes do expediente (0 \mathrm{~h}-10 \mathrm{~h})
0 1 Durante o expediente (10 \mathrm{~h}-16 \mathrm{~h})
1 1 Após o expediente (16 \mathrm{~h}-24 \mathrm{~h})
1 0 Impossível
Você fol contratado para projetar um circuito digital que controla a abertura do cofre da agência. Considerando G1, G2, T16 e T10 como variáveis de entrada, e S como a saida (S = 1 para cofre aberto, e S = 0 para cofre fechado), pede-se (indicando os passos da solucão): (i) que monte a tabela verdade de S, (ii) obtenha a expressão simplificada de S, (iii) desenhe o esquemático da expressão simplificada de S utlilizando portas OR, AND e NOT, e (iv) desenhe o esquemático da expressão simplificada de S utilizando APENAS um MUX 8 \times 1 ( 8 canais de entrada e 1 de saída) e portas NOT (caso necessário). OBS1.: Lembre-se de NECESSARIAMENTE identificar os canais de entrada do MUX e Identificar a SIGNIFICÂNCIA das entradas de seleção do MUX.

Passo 1

O que o enunciado pede (resumido claramente):
  • Entradas: G1,\;G2,\;T_{16},\;T_{10} (cada uma vale 0 ou 1).
  • Saída: S ( S=1 cofre aberto, S=0 cofre fechado).
  • Regras de funcionamento (retiradas da tabela dada pelo enunciado):
    • Antes do expediente: T_{16}=0,\;T_{10}=0 (período 0\!-\!10 h). Fora do expediente → é necessária a presença de ambos os gerentes.
    • Durante o expediente: T_{16}=0,\;T_{10}=1 (período 10\!-\!16 h). Durante o expediente → basta qualquer gerente presente.
    • Após o expediente: T_{16}=1,\;T_{10}=1 (período 16\!-\!24 h). Fora do expediente → é necessária a presença de ambos os gerentes.
    • Estado impossível: T_{16}=1,\;T_{10}=0 (marcado no enunciado como impossível).
  • O enunciado pede 4 itens:
    (i) tabela-verdade de S;
    (ii) expressão simplificada de S;
    (iii) esquemático usando portas OR, AND e NOT;
    (iv) esquemático usando APENAS um MUX 8\times1 (e portas NOT se necessário), identificando os canais do MUX e a significância das entradas de seleção.

Passo 2

Montagem da tabela-verdade completa. Vou listar todas as 16 combinações de (G1,G2,T_{16},T_{10}) e o valor de S segundo as regras dadas. Para o estado impossível (T_{16}=1,T_{10}=0) uso X (don’t care), já que o enunciado diz que é impossível; isso pode ser aproveitado na simplificação.
  • Ordem das colunas: G1,\;G2,\;T_{16},\;T_{10}\;\rightarrow\;S.
\begin{array}{cccc|c} G1 & G2 & T_{16} & T_{10} & S\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & X\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & X\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & X\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & X\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}
Explicação rápida do preenchimento (sem resolver ainda):
  • Linhas com (T_{16},T_{10})=(0,1) (durante): S=G1\lor G2.
  • Linhas com (T_{16},T_{10})=(0,0) ou (1,1) (fora do expediente): S=G1\land G2.
  • Linhas com (T_{16},T_{10})=(1,0): estado impossível \Rightarrow S=X.

Passo 3

Escrever os mintermos (linhas com S=1) e marcar os don’t-cares (linhas com X) — útil para simplificar:
Mintermos (onde S=1):
  • linha G1=0,G2=1,T_{16}=0,T_{10}=1: \overline{G1}\,G2\,\overline{T_{16}}\,T_{10}.
  • linha G1=1,G2=0,T_{16}=0,T_{10}=1: G1\,\overline{G2}\,\overline{T_{16}}\,T_{10}.
  • linha G1=1,G2=1,T_{16}=0,T_{10}=0: G1\,G2\,\overline{T_{16}}\,\overline{T_{10}}.
  • linha G1=1,G2=1,T_{16}=0,T_{10}=1: G1\,G2\,\overline{T_{16}}\,T_{10}.
  • linha G1=1,G2=1,T_{16}=1,T_{10}=1: G1\,G2\,T_{16}\,T_{10}.
Don’t-cares ( X) nas combinações: (T_{16},T_{10})=(1,0) com G1G2 variando, isto é índices correspondentes a (G1,G2,T_{16},T_{10}) = (0,0,1,0), (0,1,1,0), (1,0,1,0), (1,1,1,0).

Passo 4

Construção da expressão booleana direta a partir das regras e antes de simplificar:
  • Defino o termo “durante”: \mathrm{D}=\overline{T_{16}}\,T_{10}.
  • Defino “fora do expediente” (antes OU depois): \mathrm{F}=\overline{T_{16}}\,\overline{T_{10}} + T_{16}\,T_{10}.
    Pelo enunciado:
S=\mathrm{D}\cdot (G1+G2) \;+\; \mathrm{F}\cdot(G1\cdot G2).
Substituindo \mathrm{D} e \mathrm{F}:
S=\overline{T_{16}}\,T_{10}\,(G1+G2)\;+\;(\overline{T_{16}}\,\overline{T_{10}}+T_{16}\,T_{10})\,G1\,G2.

Passo 5

Simplificação utilizando os don’t-cares para agrupar termos (explicando o raciocínio passo a passo, parecendo um K-map verbal):
  1. Observe que quando G1=G2=1 todas as linhas válidas dão S=1 (linhas (T_{16},T_{10})=(0,0),(0,1),(1,1) — e a linha (1,0) é don’t-care). Com o don’t-care podemos agrupar todos os quatro casos para G1=G2=1 e obter o termo simples G1\,G2.
  2. Para o caso “durante” \overline{T_{16}}T_{10}, quando G1 ou G2 é 1 (ou ambos) temos S=1. As minterms onde exatamente um dos gerentes está presente no período “durante” geram os termos \overline{T_{16}}T_{10}G1 e \overline{T_{16}}T_{10}G2, que se combinam em \overline{T_{16}}T_{10}(G1+G2).
  3. Juntando os agrupamentos obtemos a expressão simplificada:
S = G1\,G2 \;+\; \overline{T_{16}}\,T_{10}\,(G1+G2).
Essa expressão é concisa e usa o fato de que com os don’t-cares conseguimos reduzir todos os casos com G1=G2=1 em um único produto.

Passo 6

Verificação rápida por casos (checagem mental):
  • Fora do expediente ( \overline{T_{16}}\overline{T_{10}} ou T_{16}T_{10}): o primeiro termo G1G2 domina → S=1 somente se ambos presentes. OK.
  • Durante ( \overline{T_{16}}T_{10}): segundo termo ativa e devolve G1+G2 → basta qualquer um. OK.
  • Estado impossível não usado na lógica (trata-se de don’t-care já empregado na simplificação).

Passo 7

Desenho esquemático com portas OR, AND e NOT — descrição suficiente para montar o circuito:
  • Entradas: G1,G2,T_{16},T_{10}.
  • Primeiro bloco: inverter T_{16} para obter \overline{T_{16}} (porta NOT).
  • Segundo bloco: gerar \overline{T_{16}}\,T_{10} com uma porta AND de duas entradas (uma entrada \overline{T_{16}}, outra T_{10}). Esse é o sinal “DURANTE”.
  • Terceiro bloco: gerar G1+G2 com uma porta OR de duas entradas.
  • Quarto bloco: AND entre “DURANTE” e G1+G2 (porta AND de duas entradas) → \overline{T_{16}}T_{10}(G1+G2).
  • Quinto bloco: AND entre G1 e G2 (porta AND de duas entradas) → G1G2.
  • Sexto bloco: OR final entre G1G2 e \overline{T_{16}}T_{10}(G1+G2) → saída S.
Em forma de fórmula (pra conectar as portas exatamente assim):
S = \bigl(G1\land G2\bigr)\;\lor\;\Bigl(\bigl(\lnot T_{16}\land T_{10}\bigr)\land\bigl(G1\lor G2\bigr)\Bigr).

Passo 8

Desenho usando APENAS um MUX 8\times1 (mais NOTs se necessário) — escolha de seleção e definição dos canais:
Escolho as linhas de seleção do MUX como:
  • S_2 = T_{16} (bit mais significativo),
  • S_1 = T_{10},
  • S_0 = G1 (bit menos significativo).
Assim o número do canal selecionado é o binário S_2 S_1 S_0 = T_{16}\,T_{10}\,G1 (vai de 0 a 7). Agora determinamos o que cada canal D_0,\dots,D_7 deve receber (cada D_i pode ser uma entrada constante 0 ou 1, ou o sinal G2 — como só é permitido usar NOTs além do MUX, preferimos usar G2 ou constantes):
Calculo de S para cada seleção (mantendo G2 como variável livre dentro de cada canal):
  • Canal D_0 (seleção 000: T_{16}=0,T_{10}=0,G1=0 — antes; S=G1G2=0). Então D_0=0.
  • Canal D_1 (seleção 001: T_{16}=0,T_{10}=0,G1=1 — antes; S=G1G2=G2). Então D_1=G2.
  • Canal D_2 (seleção 010: T_{16}=0,T_{10}=1,G1=0 — durante; S=G1\lor G2=G2). Então D_2=G2.
  • Canal D_3 (seleção 011: T_{16}=0,T_{10}=1,G1=1 — durante; S=1). Então D_3=1.
  • Canal D_4 (seleção 100: T_{16}=1,T_{10}=0,G1=0 — impossível). Escolhe-se D_4=0 (pode ser qualquer valor).
  • Canal D_5 (seleção 101: T_{16}=1,T_{10}=0,G1=1 — impossível). Escolhe-se D_5=0.
  • Canal D_6 (seleção 110: T_{16}=1,T_{10}=1,G1=0 — após; S=G1G2=0). Então D_6=0.
  • Canal D_7 (seleção 111: T_{16}=1,T_{10}=1,G1=1 — após; S=G1G2=G2). Então D_7=G2.
Resumo dos D_i:
\begin{array}{c|c} \text{Canal }i & D_i\\hline 0 & 0\\\\ 1 & G2\\\\ 2 & G2\\\\ 3 & 1\\\\ 4 & 0\\\\ 5 & 0\\\\ 6 & 0\\\\ 7 & G2 \end{array}
Conexões físicas:
  • Liga T_{16} ao seletor S_2, T_{10} ao seletor S_1, G1 ao seletor S_0 do MUX 8\times1.
  • Conecte as entradas D_i conforme a tabela acima (onde for G2 ligar diretamente G2, onde for 1 ligar à fonte lógica 1, onde for 0 ligar à terra lógica 0).
  • Saída do MUX é S.
  • Não foram necessários NOTs nessa montagem; se preferir inverter algum seletor use NOTs, mas neste projeto não é necessário.

Passo 9

Pequena checagem de consistência (exemplos):
  • Caso G1=0,G2=1,T_{16}=0,T_{10}=1 (durante, só G2 presente): selects =0,1,0 \Rightarrow canal 2 com D_2=G2=1 S=1. OK.
  • Caso G1=1,G2=1,T_{16}=1,T_{10}=1 (após, ambos presentes): selects =1,1,1 \Rightarrow canal 7 com D_7=G2=1 S=1. OK.
  • Caso impossível T_{16}=1,T_{10}=0: selects =1,0,G1 \Rightarrow canais 4 ou 5 que definimos como 0 (escolha arbitrária).

Resposta

(i) Tabela-verdade (resumida): S=1 para as combinações (G1,G2,T_{16},T_{10}) correspondentes a
\{(0,1,0,1),(1,0,0,1),(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,1)\};
S=0 para as combinações \{(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(1,0,1,1)\};
estado impossível (T_{16},T_{10})=(1,0) \Rightarrow S=X (don’t-care) nas combinações (0,0,1,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,1,0).
(ii) Expressão simplificada:
S = G1\,G2 \;+\; \overline{T_{16}}\,T_{10}\,(G1+G2).
(iii) Esquemático com portas OR/AND/NOT (descrição de ligação):
S = \bigl(G1\land G2\bigr)\;\lor\;\Bigl(\bigl(\lnot T_{16}\land T_{10}\bigr)\land\bigl(G1\lor G2\bigr)\Bigr).
(Implementar: NOT em T_{16}; AND de \overline{T_{16}} e T_{10}; OR entre G1 e G2; AND desses dois blocos; AND entre G1 e G2; OR final entre os dois termos.)
(iv) Esquemático com um MUX 8\times1 — seleção e canais:
  • Seletores: S_2=T_{16} (MSB), S_1=T_{10}, S_0=G1 (LSB).
  • Entradas do MUX:
    • D_0=0,
    • D_1=G2,
    • D_2=G2,
    • D_3=1,
    • D_4=0 (impossível),
    • D_5=0 (impossível),
    • D_6=0,
    • D_7=G2.
  • Saída do MUX = S.

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