Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
O pedido é: colocar a equação na forma de variáveis separáveis e resolver — quando possível, obter a família de soluções como funções explícitas de
.
Informações relevantes fornecidas: a equação está escrita em forma diferencial envolvendo e
. Não foi dado valor inicial.
Informações relevantes fornecidas: a equação está escrita em forma diferencial envolvendo
Passo 2
Transformar a equação para a forma
para ver se é separável. Dividindo por
(assumindo
):
Isolando
:
Isto é da forma
com
e
, ou seja, é separável.
Passo 3
Separar as variáveis colocando todos os termos em
multiplicando
de um lado e os termos em
multiplicando
do outro:
Agora ambas as variáveis estão separadas e podemos integrar os dois lados.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo é conveniente a substituição
, pois
e
. Assim:
Para o lado direito:
Somando a constante de integração
, obtemos a igualdade integrada:
Passo 5
Rearranjar para uma forma mais simples (multiplicando por
ou isolando
). Multiplicando por
obtém-se, se desejar,
onde
é outra constante arbitrária. Mantendo a forma mais compacta:
onde ajustei a constante para
. Esta é a solução implícita geral.
Passo 6
Obter a solução explícita para
, quando desejado. Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
portanto
onde
é constante real arbitrária. Para argumentos reais a raiz cúbica é bem definida (única real) para qualquer valor do radicando.
Passo 7
Verificação rápida de possíveis soluções singulares constantes: tentar
dá
e a equação original fica
, o que não é satisfeito para
variando livremente. Logo
não é uma solução global da equação (não é uma solução válida para todos os
).