Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
x^{3} d x+(y+1)^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
x^{3}\,dx+(y+1)^{2}\,dy=0.
O pedido é: colocar a equação na forma de variáveis separáveis e resolver — quando possível, obter a família de soluções como funções explícitas de x.
Informações relevantes fornecidas: a equação está escrita em forma diferencial envolvendo x e y. Não foi dado valor inicial.

Passo 2

Transformar a equação para a forma dy/dx=\cdots para ver se é separável. Dividindo por dx (assumindo dx\neq0):
x^{3}+(y+1)^{2}\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{3}}{(y+1)^{2}}.
Isto é da forma \dfrac{dy}{dx}=A(x)\,B(y) com A(x)=-x^{3} e B(y)=(y+1)^{-2}, ou seja, é separável.

Passo 3

Separar as variáveis colocando todos os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em x multiplicando dx do outro:
(y+1)^{2}\,dy = -x^{3}\,dx.
Agora ambas as variáveis estão separadas e podemos integrar os dois lados.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo é conveniente a substituição u=y+1, pois du=dy e (y+1)^{2}dy=u^{2}du. Assim:
\int (y+1)^{2}\,dy = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} = \frac{(y+1)^{3}}{3}.
Para o lado direito:
\int -x^{3}\,dx = -\frac{x^{4}}{4}.
Somando a constante de integração C, obtemos a igualdade integrada:
\frac{(y+1)^{3}}{3} = -\frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 5

Rearranjar para uma forma mais simples (multiplicando por 12 ou isolando (y+1)^{3}). Multiplicando por 12 obtém-se, se desejar,
4(y+1)^{3} = -3x^{4} + C_{1},
onde C_{1}=12C é outra constante arbitrária. Mantendo a forma mais compacta:
(y+1)^{3} = C - \frac{3}{4}x^{4},
onde ajustei a constante para C. Esta é a solução implícita geral.

Passo 6

Obter a solução explícita para y, quando desejado. Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
y+1 = \left(C - \frac{3}{4}x^{4}\right)^{1/3},
portanto
y(x) = -1 + \left(C - \frac{3}{4}x^{4}\right)^{1/3},
onde C é constante real arbitrária. Para argumentos reais a raiz cúbica é bem definida (única real) para qualquer valor do radicando.

Passo 7

Verificação rápida de possíveis soluções singulares constantes: tentar y\equiv -1 (y+1)^{2}=0 e a equação original fica x^{3}\,dx=0, o que não é satisfeito para x variando livremente. Logo y\equiv -1 não é uma solução global da equação (não é uma solução válida para todos os x).

Resposta

(y+1)^{3} = C - \dfrac{3}{4}x^{4}\n
y(x) = -1 + \left(C - \dfrac{3}{4}x^{4}\right)^{1/3}

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