Uma agência de empregos deseja estimar a proporção de desempregados em uma certa cidade. Pelos dados fornecidos pela Delegacia Regional do Trabalho a agência verificou que de 1000 pessoas, 160 estavam desempregadas.
Determine um intervalo de 90 \% de confiança para a proporção de desempregados da cidade.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos) e pede o que quer que calculemos:
  • Tamanho da amostra: n=1000.
  • Número de desempregados observados na amostra: x=160.
  • O que pedem: um intervalo de confiança de 90\% para a proporção verdadeira de desempregados na cidade (ou seja, para p, a proporção populacional).
    Não começo a resolver ainda; apenas esclarecer o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Escolha do método: usaremos o intervalo de confiança aproximado baseado na aproximação normal (intervalo usando o estimador amostral da proporção).
Por que isso é válido aqui? A regra prática é verificar se n\hat{p} e n(1-\hat{p}) são suficientemente grandes (tipicamente \ge 5 ou \ge 10). Primeiro calculamos \hat{p} (no próximo passo) e depois comprovamos essa condição; como n=1000 e x=160, já se antecipa que a condição será satisfeita.

Passo 3

Apresento a fórmula do intervalo de confiança (e explico cada símbolo):
  • Estimador amostral da proporção:
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos na amostra (aqui “desempregados”) e n é o tamanho da amostra.
  • Erro padrão (desvio padrão do estimador):
\mathrm{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
  • Valor crítico para nível de confiança 1-\alpha (aqui 90\%): é o quantil da distribuição normal padrão z_{1-\alpha/2}. Para 90\% temos \alpha=0,10 e portanto z_{1-\alpha/2}=z_{0,95}.
  • Intervalo de confiança aproximado:
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\mathrm{SE}(\hat{p}).
Explicando em palavras: pega-se a proporção observada, soma e subtrai uma “margem de erro” que é o produto do valor crítico z pela incerteza \mathrm{SE}.

Passo 4

Calcular \hat{p}:
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{160}{1000}=0,16.
Interpretação: na amostra, 16\% estavam desempregados.

Passo 5

Verificar a condição de validade da aproximação normal:
n\hat{p}=1000\cdot0,16=160\ge 10,\qquad n(1-\hat{p})=1000\cdot0,84=840\ge 10.
Como ambos são bastante maiores do que 10, a aproximação normal (intervalo z) é apropriada.

Passo 6

Determinar o valor crítico z_{1-\alpha/2} para 90\%:
Para nível de confiança 90\% tem-se \alpha=0,10 e 1-\alpha/2=0,95. O quantil da normal padrão correspondente é
z_{0,95}\approx 1,645.
(Em provas costuma-se memorizar z_{0,95}\approx1,645, z_{0,975}\approx1,96, etc.)

Passo 7

Calcular o erro padrão passo a passo:
\mathrm{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,16\cdot0,84}{1000}}=\sqrt{\frac{0,1344}{1000}}=\sqrt{0,0001344}.
Agora extraindo a raiz quadrada (mostro a conta para facilitar fazer à mão):
\sqrt{0,0001344}\approx 0,01159.

Passo 8

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=z_{0,95}\cdot\mathrm{SE}(\hat{p})\approx 1,645\cdot0,01159\approx 0,01908.
Portanto a margem de erro é aproximadamente 0,01908 (ou 1,908\% em pontos percentuais).

Passo 9

Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{margem}\approx 0,16-0,01908=0,14092,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{margem}\approx 0,16+0,01908=0,17908.
Arredondando de forma prática para três casas decimais em proporção (ou duas casas em porcentagem):
\text{IC de }90\%:\quad [0,1409,\;0,1791]\quad\text{ou}\quad[14,09\%,\;17,91\%].

Passo 10

Interpretação final (como falar na prova): com 90\% de confiança, a proporção verdadeira de desempregados na cidade está entre aproximadamente 14,09\% e 17,91\%. Isso significa que se repetíssemos o mesmo procedimento muitas vezes, cerca de 90\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção populacional.

Resposta

[0,1409,\;0,1791]

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