Uma agência de empregos deseja estimar a proporção de desempregados em uma certa cidade. Pelos dados fornecidos pela Delegacia Regional do Trabalho a agência verificou que de 1000 pessoas, 160 estavam desempregadas.
Determine um intervalo de
de confiança para a proporção de desempregados da cidade.
Determine um intervalo de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos) e pede o que quer que calculemos:
- Tamanho da amostra:
. - Número de desempregados observados na amostra:
. - O que pedem: um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de desempregados na cidade (ou seja, para , a proporção populacional).
Não começo a resolver ainda; apenas esclarecer o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Escolha do método: usaremos o intervalo de confiança aproximado baseado na aproximação normal (intervalo usando o estimador amostral da proporção).
Por que isso é válido aqui? A regra prática é verificar se e
são suficientemente grandes (tipicamente
ou
). Primeiro calculamos
(no próximo passo) e depois comprovamos essa condição; como
e
, já se antecipa que a condição será satisfeita.
Por que isso é válido aqui? A regra prática é verificar se
Passo 3
Apresento a fórmula do intervalo de confiança (e explico cada símbolo):
- Estimador amostral da proporção:
onde
é o número de sucessos na amostra (aqui “desempregados”) e
é o tamanho da amostra.
- Erro padrão (desvio padrão do estimador):
- Valor crítico para nível de confiança
(aqui ): é o quantil da distribuição normal padrão . Para temos e portanto . - Intervalo de confiança aproximado:
Explicando em palavras: pega-se a proporção observada, soma e subtrai uma “margem de erro” que é o produto do valor crítico
pela incerteza
.
Passo 4
Calcular
:
Interpretação: na amostra,
estavam desempregados.
Passo 5
Verificar a condição de validade da aproximação normal:
Como ambos são bastante maiores do que
, a aproximação normal (intervalo
) é apropriada.
Passo 6
Determinar o valor crítico
para
:
Para nível de confiança tem-se
e
. O quantil da normal padrão correspondente é
Para nível de confiança
(Em provas costuma-se memorizar
,
, etc.)
Passo 7
Calcular o erro padrão passo a passo:
Agora extraindo a raiz quadrada (mostro a conta para facilitar fazer à mão):
Passo 8
Calcular a margem de erro:
Portanto a margem de erro é aproximadamente
(ou
em pontos percentuais).
Passo 9
Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem:
Arredondando de forma prática para três casas decimais em proporção (ou duas casas em porcentagem):
Passo 10
Interpretação final (como falar na prova): com
de confiança, a proporção verdadeira de desempregados na cidade está entre aproximadamente
e
. Isso significa que se repetíssemos o mesmo procedimento muitas vezes, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção populacional.