A Agência Espacial Brasileira (AEB) deseja colocar um satélite de 1200 kg em órbita circular a 400 km acima da superfície da Terra. Calcule o trabalho necessário para colocar o satélite em órbita.
Dados: massa da Terra, 5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, raio da Terra 6380 km e constante gravitacional 6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}.
(a) 3,75 \times 10^{10} \mathrm{~J}.
(b) 2,26 \times 10^{10} \mathrm{~J}.
(c) 4,15 \times 10^{10} \mathrm{~J}.
(d) 3,92 \times 10^{10} \mathrm{~J}.
(c) 5,82 \times 10^{10} \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para colocar um satélite de massa m=1200,kg em órbita circular de altitude h=400,km sobre a superfície da Terra.
Para isso vamos usar o conceito de energia mecânica: o trabalho necessário é a diferença entre a energia mecânica final na órbita e a energia mecânica inicial na superfície.
Dados: \displaystyle M = 5,97\times10^{24},kg (massa da Terra) \displaystyle R = 6380,km =6{,}38\times10^6,m (raio da Terra) \displaystyle h = 400,km =4{,}00\times10^5,m (altitude) \displaystyle r = R + h = 6{,}38\times10^6 + 4{,}00\times10^5 = 6{,}78\times10^6,m \displaystyle G = 6{,}67\times10^{-11}, N\cdot m ^2/kg ^2

Passo 2

A energia mecânica de um satélite em órbita circular de raio r é
E_{\text{orbita}} = K + U = \tfrac12 m v^2 - \frac{G M m}{r}.
Mas para órbita circular vale v^2 = \frac{G M}{r}, então
K = \tfrac12 m\,\frac{G M}{r} = \frac{G M m}{2r}.
Logo
E_{\text{orbita}} = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = -\,\frac{G M m}{2r}.

Passo 3

Na superfície, o satélite está em repouso K=0 e tem apenas energia potencial
E_{\text{inicial}} = U_{\text{superf}} = -\,\frac{G M m}{R}.
O trabalho necessário é
W = E_{\text{orbita}} - E_{\text{inicial}} = -\,\frac{G M m}{2r} \;+\;\frac{G M m}{R} = G M m\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{2r}\Bigr).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro
G M m = (6{,}67\times10^{-11})\,(5{,}97\times10^{24})\,(1200) \approx 4{,}78\times10^{17}\,.
Em seguida o fator entre parênteses:
\frac{1}{R}-\frac{1}{2r} = \frac{1}{6{,}38\times10^6} - \frac{1}{2\cdot6{,}78\times10^6} \approx 1{,}567\times10^{-7} - 7{,}373\times10^{-8} = 8{,}297\times10^{-8}.
Logo
W \approx 4{,}78\times10^{17}\times8{,}297\times10^{-8} \approx 3{,}96\times10^{10}\,\mathrm{J}.

Resposta

(d) 3,92\times10^{10}\,\mathrm{J}

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