A Agência Nacional de Estatísticas da Saúde (NCHS) americana indicou que, em 2002, os norte americanos gastaram, em média, 3056 dólares com saúde e medicamentos. Um pesquisador suspeita que, em 2005, os gastos diminuíram em virtude da disposição de remédios genéricos. Para testar tal hipótese (alternativa), uma amostra aleatória simples de 108 cidadãos dos EUA foi selecionada e seus gastos com saúde e medicamentos, em 2005, foram medidos, resultando em uma média amostral de 3004. Sabe-se que o desvio padrão deste tipo de gasto é de 304 . Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao p-valor do teste de hipóteses em consideração.
(a) 0.2875
(b) 0.0375
(c) 0.4812
(d) 0.0992
(e) 0.8566

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • média histórica/populacional: \mu_0=3056 dólares (valor em 2002).
    • tamanho da amostra: n=108.
    • média amostral: \bar{x}=3004 dólares (valor em 2005).
    • desvio padrão populacional conhecido: \sigma=304.
  • O que o pesquisador quer testar: se, em 2005, os gastos diminuíram em relação a 2002. Ou seja, a hipótese alternativa é de diminuição.
  • O que é pedido: o p-valor do teste de hipóteses correspondente.

Passo 2

Formular as hipóteses do teste (escrevendo claramente qual é a hipótese nula e qual é a alternativa).
  • Hipótese nula (não há diminuição): H_0:\\ \mu = 3056.
  • Hipótese alternativa (diminuiu): H_1:\\ \mu < 3056.
Isto é um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Escolher o teste apropriado e justificar.
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a amostra é razoavelmente grande ( n=108), usamos o teste-z (teste para a média com \sigma conhecido). O estatístico de teste é o Z padronizado:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explico: \bar{X} é a média amostral observada, \mu_0 é a média sob H_0, \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}). Sob H_0, Z tem aproximadamente distribuição normal padrão.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (o denominador do Z) passo a passo.
  • Primeiro calcular \sqrt{n}: \sqrt{108}\approx 10,3923.
  • Então o erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{304}{\sqrt{108}}\approx \frac{304}{10,3923}\approx 29,257.
Explicando: isto significa que, por causa da variabilidade individual e do tamanho da amostra, a média amostral costuma oscilar na ordem de \pm 29{,}3 dólares em torno da média verdadeira.

Passo 5

Calcular o estatístico Z.
  • Diferença entre média amostral e hipótese: \bar{x}-\mu_0=3004-3056=-52.
  • Portanto
Z=\frac{-52}{29{,}257}\approx -1{,}7775.
Interpretação: a média observada está aproximadamente 1{,}78 desvios padrão abaixo do valor sob H_0.

Passo 6

Calcular o p-valor para teste unilateral à esquerda.
  • O p-valor é \Pr(Z\le z_{\text{obs}}) com Z normal padrão. Então precisamos de
p = \Phi(-1{,}7775),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando a simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Então
p = 1-\Phi(1{,}7775).
  • Consultando tabela/valores da normal padrão: para z=1{,}78 tem-se \Phi(1{,}78)\approx 0{,}9625. Logo
p \approx 1-0{,}9625 = 0{,}0375.
Observação: se usar mais casas decimais para z (1{,}7775) obtém-se um p muito próximo de 0{,}0376; pelo arredondamento a opção da lista que bate exatamente é 0{,}0375.

Passo 7

Conclusão e interpretação rápida (motivacional): o p-valor é pequeno (cerca de 0{,}0375), o que indica que a média amostral de 3004 é improvável sob H_0=3056 — isto fornece evidência a favor da hipótese de diminuição, ao nível de significância comum 5\%. Mas a decisão final depende do nível de significância escolhido na prova/questão.

Resposta

0,0375 (alternativa (b))

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