A Agência Nacional de Estatísticas da Saúde (NCHS) americana indicou que, em 2002, os norte americanos gastaram, em média, 3056 dólares com saúde e medicamentos. Um pesquisador suspeita que, em 2005, os gastos diminuíram em virtude da disposição de remédios genéricos. Para testar tal hipótese (alternativa), uma amostra aleatória simples de 108 cidadãos dos EUA foi selecionada e seus gastos com saúde e medicamentos, em 2005, foram medidos, resultando em uma média amostral de 3004. Sabe-se que o desvio padrão deste tipo de gasto é de 304 . Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao p-valor do teste de hipóteses em consideração.
(a) 0.2875
(b) 0.0375
(c) 0.4812
(d) 0.0992
(e) 0.8566
(a) 0.2875
(b) 0.0375
(c) 0.4812
(d) 0.0992
(e) 0.8566
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- média histórica/populacional:
dólares (valor em 2002). - tamanho da amostra:
. - média amostral:
dólares (valor em 2005). - desvio padrão populacional conhecido:
.
- média histórica/populacional:
- O que o pesquisador quer testar: se, em 2005, os gastos diminuíram em relação a 2002. Ou seja, a hipótese alternativa é de diminuição.
- O que é pedido: o
-valor do teste de hipóteses correspondente.
Passo 2
Formular as hipóteses do teste (escrevendo claramente qual é a hipótese nula e qual é a alternativa).
- Hipótese nula (não há diminuição):
- Hipótese alternativa (diminuiu):
Isto é um teste unilateral à esquerda.
Passo 3
Escolher o teste apropriado e justificar.
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido e a amostra é razoavelmente grande ( ), usamos o teste-z (teste para a média com conhecido). O estatístico de teste é o padronizado:
Explico:
é a média amostral observada,
é a média sob
,
é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição amostral de
). Sob
,
tem aproximadamente distribuição normal padrão.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (o denominador do
) passo a passo.
- Primeiro calcular
: . - Então o erro padrão é
Explicando: isto significa que, por causa da variabilidade individual e do tamanho da amostra, a média amostral costuma oscilar na ordem de
dólares em torno da média verdadeira.
Passo 5
Calcular o estatístico
.
- Diferença entre média amostral e hipótese:
. - Portanto
Interpretação: a média observada está aproximadamente
desvios padrão abaixo do valor sob
.
Passo 6
Calcular o
-valor para teste unilateral à esquerda.
- O
-valor é com normal padrão. Então precisamos de
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Usando a simetria da normal padrão:
. Então
- Consultando tabela/valores da normal padrão: para
tem-se . Logo
Observação: se usar mais casas decimais para
(1{,}7775) obtém-se um
muito próximo de
; pelo arredondamento a opção da lista que bate exatamente é
.
Passo 7
Conclusão e interpretação rápida (motivacional): o
-valor é pequeno (cerca de
), o que indica que a média amostral de
é improvável sob
— isto fornece evidência a favor da hipótese de diminuição, ao nível de significância comum
. Mas a decisão final depende do nível de significância escolhido na prova/questão.
Resposta
0,0375 (alternativa (b))