Pesquisas indicam que, geralmente, pelo menos 64 \% dos pacientes com AIDS morrem dentro de 15 anos. Nos últimos anos novas formas de tratamento apareceram e considerase que esta taxa foi reduzida. Em um estudo recente com 105 pacientes contaminados com o vírus, 75 morreram dentro de 15 anos. Com base nas informações, e tomando o resultado das pesquisas como hipótese nula, assinale a alternativa correspondente ao p -valor do teste.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o p-valor do teste:
  • Pesquisa anterior: pelo menos 64\% dos pacientes morrem dentro de 15 anos (tomamos esse valor como hipótese nula).
  • Situação recente: acredita-se que a taxa foi reduzida (isso indica a direção da alternativa).
  • Estudo: n=105 pacientes; número de mortes em 15 anos x=75.
  • Pergunta: calcular o p-valor do teste tomando o resultado das pesquisas como hipótese nula.

Passo 2

Vamos escrever claramente as hipóteses (usando a pesquisa como hipótese nula e a informação de redução como alternativa):
H_0: p = 0,64
H_a: p < 0,64
Aqui p é a verdadeira proporção de pacientes que morrem dentro de 15 anos. A alternativa é unilateral à esquerda porque a afirmação é de redução.

Passo 3

Verificação das condições para usar a aproximação normal à proporção:
Calcular n p_0 e n(1-p_0) com p_0=0,64 e n=105:
n p_0 = 105 \times 0,64 = 67,2
n(1-p_0) = 105 \times 0,36 = 37,8
Ambos são maiores que 5, então a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{75}{105} = \frac{5}{7} \approx 0,7142857

Passo 5

Escrever a estatística de teste (z) e calcular o erro padrão sob H_0:
A fórmula do erro padrão (quando H_0 fixa p_0) é
\text{SE} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}.
Substituindo os valores:
\text{SE} = \sqrt{\frac{0,64\cdot 0,36}{105}} = \sqrt{\frac{0,2304}{105}} \approx 0,04685.
A estatística z é
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\text{SE}} = \frac{0,7142857 - 0,64}{0,04685} \approx 1,586.

Passo 6

Calcular o p-valor para o teste unilateral à esquerda:
Como H_a é p<p_0, o p-valor é
\text{p-valor} = P(Z \le z_{\text{obs}}),
onde Z é uma normal padrão e z_{\text{obs}}\approx 1,586. Usando a tabela (ou função de distribuição normal), temos
P(Z \le 1,586) \approx 0,9436.
Portanto o p-valor é aproximadamente 0,9436.

Passo 7

Interpretação rápida (para a prova): um p-valor tão grande indica que a evidência amostral NÃO apoia a hipótese alternativa p<0,64; na verdade a proporção observada foi maior que 0,64, então não há razão para rejeitar H_0.

Resposta

0,944

Exercícios relacionados