A glicemia de jejum é um exame que mede o nível de glicose (açúcar) na circulação sanguínea de um indivíduo em jejum (de 8 a 12 horas). Valores entre 70 e 110 \mathrm{mg} / \mathrm{dL} são considerados normais. Nesse contexto, para estimar o nível médio de glicose de jejum das pessoas de uma dada comunidade rural, pesquisadores realizaram o exame em 24 pessoas escolhidas ao acaso dessa comunidade, obtendo-se média e variância amostrais de 108 e 83, respectivamente. Supondo normalidade da glicemia de jejum, assinale a alternativa correspondente a um intervalo de confiança para a glicemia de jejum média dessa população com confiança de 90 \%.
(a) [102.073,113.927]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados (pegos do enunciado):
  • tamanho amostral: n=24,
  • média amostral: \bar{x}=108 (unidades: \mathrm{mg/dL}),
  • variância amostral: s^{2}=83 (unidades: \mathrm{(mg/dL)}^{2}).
    O enunciado pede um intervalo de confiança de 90\% para a glicemia média populacional.

Passo 2

Qual procedimento usar? Quando a população é suposta normal e a variância populacional é desconhecida (temos apenas s^{2}), o intervalo de confiança para a média usa a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula geral (duas caudas) é:
\bar{x}\pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual da média populacional),
  • s é o desvio-padrão amostral (raiz da variância amostral),
  • n é o tamanho da amostra,
  • \alpha é o nível de significância ( \alpha=1-confiança; aqui \alpha=0{,}10),
  • t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil da t-Student tal que a área central é a confiança desejada.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo (explicando cada quantidade).

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s a partir da variância amostral s^{2}=83.
s=\sqrt{83}\approx 9{,}110433579\\ \mathrm{mg/dL}.
Comentário prático: \sqrt{81}=9, então \sqrt{83} é um pouco maior que 9, aproximadamente 9{,}11.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{83}}{\sqrt{24}}.
Calculei \sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx 4{,}898979486. Portanto
\mathrm{SE}\approx\frac{9{,}110433579}{4{,}898979486}\approx 1{,}86\\ \mathrm{mg/dL}.
Interpretação: esse \mathrm{SE} é a incerteza típica da média amostral.

Passo 5

Determinar o quantil t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}. Aqui \alpha=0{,}10, então 1-\frac{\alpha}{2}=0{,}95. Os graus de liberdade são n-1=23. Pela tabela da t-Student ou calculadora:
t_{0{,}95,\,23}\approx 1{,}7139.
Significado: com 23 graus de liberdade, a probabilidade de ficar dentro de \pm 1{,}7139 é 90\%.

Passo 6

Calcular a meia-amplitude (margem de erro) do intervalo:
\text{margem}=t_{0{,}95,\,23}\cdot\mathrm{SE}\approx 1{,}7139\times 1{,}86\approx 3{,}188.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança subtraindo / somando a margem à média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}\approx 108-3{,}188\approx 104{,}812,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}\approx 108+3{,}188\approx 111{,}188.
Portanto o intervalo de confiança de 90\% é aproximadamente [104{,}812,\;111{,}188] (unidades: \mathrm{mg/dL}).

Passo 8

Comparação rápida com a alternativa dada: a alternativa (a) apresenta [102{,}073,\;113{,}927], que difere do intervalo calculado acima; logo a alternativa (a) não corresponde ao intervalo de confiança de 90\% obtido corretamente com t-Student.

Resposta

[104{,}812,\;111{,}188]

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