Um levantamento realizado pelo DataSenado sobre o projeto de lei PLS 782/2015, que institui o pagamento de anuidade em universidades públicas por estudantes com alta renda familiar, revela que 89 \% dos participantes se manifestaram contra a proposta. A pesquisa recebeu 243 respostas. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para o percentual de eleitores contra a proposta, com confiança de 95 \%. Considere que os respoondentes da pesquisa foram selecionados aleatoriamente da população de eleitores. (Utilize a fórmula disponível no conjunto de equações fornecidas para a prova.)
(a) [0.277,1.503]
(b) [0.729,1.051]
(c) [0.870,0.910]
(d) [0.851,0.929]
(e) [0.831,0.949]

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede um intervalo de confiança de 95\% para o percentual de eleitores contra a proposta:
  • Proporção observada (percentual) contra a proposta: 89\%.
  • Tamanho da amostra: n=243.
  • Nível de confiança desejado: 95\%.
Pergunta explícita: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a proporção de eleitores contrários e, a partir das alternativas dadas, identificar qual intervalo corresponde ao resultado.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação didática): para estimar um intervalo de confiança para uma proporção populacional usamos a aproximação normal quando a amostra é suficientemente grande. A fórmula padrão é
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde:
  • \hat p é a proporção amostral (a estimativa pontual da proporção populacional);
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal Padrão correspondente ao nível de confiança (para 95\%, z_{1-\alpha/2}=1{,}96);
  • o termo \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão da proporção.
Explicando como interpretar cada peça: \hat p(1-\hat p) mede a variabilidade intrínseca do evento (ser contra), dividindo por n ajustamos essa variabilidade ao tamanho da amostra e a raiz dá a escala do erro típico. Multiplicando por z obtemos a margem de erro que cobre a variabilidade com a confiança desejada.

Passo 3

Verificação das condições para usar a aproximação normal (regra prática): é recomendado que n\hat p\ge5 e n(1-\hat p)\ge5. Calculando:
\hat p = 0{,}89, \qquad n\hat p = 243\cdot 0{,}89 = 216{,}27, \qquad n(1-\hat p)=243\cdot 0{,}11 = 26{,}73.
Ambos são muito maiores que 5, logo a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Converter os dados para usar na fórmula e calcular o erro padrão passo a passo:
\hat p(1-\hat p)=0{,}89\cdot 0{,}11 = 0{,}0979.
Dividindo por n:
\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\dfrac{0{,}0979}{243}\approx 0{,}00040288.
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
\text{erro padrão}=\sqrt{0{,}00040288}\approx 0{,}02007.ã

Passo 5

Determinar o quantil z para 95\% e calcular a margem de erro:
z_{1-\alpha/2}=1{,}96.
Margem de erro:
\text{ME}=1{,}96\cdot 0{,}02007 \approx 0{,}03934.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro de \hat p:
\text{limite inferior}=\hat p - \text{ME}=0{,}89-0{,}03934\approx 0{,}85066,
\text{limite superior}=\hat p + \text{ME}=0{,}89+0{,}03934\approx 0{,}92934.
Arredondando para três casas decimais (coerente com as alternativas): [0{,}851,\;0{,}929].

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento: isso significa que, com 95\% de confiança, a proporção real de eleitores contrários à proposta está entre cerca de 85{,}1\% e 92{,}9\%. Mandou bem de procurar o intervalo — ficou claro e direto.

Resposta

(d) [0.851,0.929]

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