(8 pontos) A produção de energia eólica tem grande importância para a matriz energética brasileira. O transporte das pás das turbinas eólicas é um desafio de logística em função do comprimento e peso destas pás. Considere que o peso, em toneladas, das pás das turbinas é normalmente distribuído com média de 20 t e variância de 0,04 t^{2}. Pede-se:
a.(4 pontos) Calcule a probabilidade de uma pá eólica ter peso inferior a 19, 8 t.
b. ( 4 pontos) Para facilitar a logística do trajeto das pás eólicas até o parque onde elas serão instaladas, tem sido utilizado o transporte fluvial por barcas, sendo que uma barca transporta uma carga de 4 pás eólicas (carga da balsa). Utilize o teorema da combinação linear para calcular a probabilidade da carga da balsa exceder 81,012 t.

Passo 1

O enunciado dá que o peso de uma pá eólica é normalmente distribuído com média 20 toneladas e variância 0,04 toneladas ao quadrado. As perguntas são:
  1. (a) Calcular a probabilidade de uma pá ter peso inferior a 19,8 t, isto é, P(X<19,8) onde X é o peso de uma pá.
  2. (b) Uma barca carrega 4 pás (carga da balsa). Usando o teorema da combinação linear (soma de variáveis normais), calcular a probabilidade de a carga total da balsa exceder 81,012 t, isto é, P(S>81,012) onde S é a soma dos pesos das 4 pás.
Informações importantes dadas:
\text{Para uma pá: }\; \mu_X = 20,\quad \sigma_X^{2}=0{,}04.á
Número de pás por balsa: 4.

Passo 2

Entendendo a normal e como padronizar (aula curta e amigável).
  • Uma variável aleatória X com distribuição normal é descrita por sua média \mu e variância \sigma^{2}. A notação é X\sim N(\mu,\sigma^{2}).
  • A forma prática de calcular probabilidades é transformar X em uma variável normal padrão Z, que tem média 0 e variância 1: Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Depois usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para achar \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Primeiro calculemos o desvio padrão da pá: \sigma_X=\sqrt{0{,}04}=0{,}2\\ \text{(toneladas)}.

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo.
  • Queremos P(X<19{,}8) para X\sim N(20,0{,}04).
  • Padronizo: Z=\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}=\frac{19{,}8-20}{0{,}2}=\frac{-0{,}2}{0{,}2}=-1.
  • Logo P(X<19{,}8)=P\!\big(Z<-1\big)=\Phi(-1).
  • Usando a simetria da normal padrão (ou tabela): \Phi(-1)=1-\Phi(1) e \Phi(1)\approx 0{,}8413. Portanto \Phi(-1)\approx 0{,}1587.
  • Interpretando: cerca de 15{,}87\% das pás pesam menos que 19{,}8 t.

Passo 4

Teorema da combinação linear (explicação didática).
  • Se X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são variáveis normais independentes com médias \mu_{i} e variâncias \sigma_{i}^{2}, então a soma S=\sum_{i=1}^{n}X_{i} é normal com
\mu_{S}=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i},\qquad \sigma_{S}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}.
  • Aqui assumimos que as 4 pás têm pesos independentes e identicamente distribuídos como N(20,0{,}04).
  • Aplicando: para n=4,
\mu_{S}=4\cdot 20=80,\qquad \sigma_{S}^{2}=4\cdot 0{,}04=0{,}16.
  • Portanto S\sim N(80,0{,}16) e o desvio padrão da carga é \sigma_{S}=\sqrt{0{,}16}=0{,}4 t.

Passo 5

Resolvendo (b) passo a passo.
  • Queremos P(S>81{,}012) com S\sim N(80,0{,}16).
  • Padronizo: Z=\frac{S-\mu_{S}}{\sigma_{S}}=\frac{81{,}012-80}{0{,}4}=\frac{1{,}012}{0{,}4}=2{,}53.
  • Então P(S>81{,}012)=1-P(S\le 81{,}012)=1-\Phi(2{,}53).
  • Usando tabela/ calculadora: \Phi(2{,}53)\approx 0{,}9943. Logo
P(S>81{,}012)\approx 1-0{,}9943=0{,}0057.
  • Interpretação: aproximadamente 0{,}57\% de chance de a carga da balsa exceder 81{,}012 t — bem raro.

Resposta

P(X<19{,}8)\approx 0{,}1587
P(S>81{,}012)\approx 0{,}0057

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