(8 pontos) A produção de energia eólica tem grande importância para a matriz energética brasileira. O transporte das pás das turbinas eólicas é um desafio de logística em função do comprimento e peso destas pás. Considere que o peso, em toneladas, das pás das turbinas é normalmente distribuído com média de
e variância de
. Pede-se:
a.(4 pontos) Calcule a probabilidade de uma pá eólica ter peso inferior a 19,
.
b. ( 4 pontos) Para facilitar a logística do trajeto das pás eólicas até o parque onde elas serão instaladas, tem sido utilizado o transporte fluvial por barcas, sendo que uma barca transporta uma carga de 4 pás eólicas (carga da balsa). Utilize o teorema da combinação linear para calcular a probabilidade da carga da balsa exceder
.
a.(4 pontos) Calcule a probabilidade de uma pá eólica ter peso inferior a 19,
b. ( 4 pontos) Para facilitar a logística do trajeto das pás eólicas até o parque onde elas serão instaladas, tem sido utilizado o transporte fluvial por barcas, sendo que uma barca transporta uma carga de 4 pás eólicas (carga da balsa). Utilize o teorema da combinação linear para calcular a probabilidade da carga da balsa exceder
Passo 1
O enunciado dá que o peso de uma pá eólica é normalmente distribuído com média
toneladas e variância
toneladas ao quadrado. As perguntas são:
- (a) Calcular a probabilidade de uma pá ter peso inferior a
t, isto é, onde é o peso de uma pá. - (b) Uma barca carrega
pás (carga da balsa). Usando o teorema da combinação linear (soma de variáveis normais), calcular a probabilidade de a carga total da balsa exceder t, isto é, onde é a soma dos pesos das 4 pás.
Informações importantes dadas:
Número de pás por balsa:
.
Passo 2
Entendendo a normal e como padronizar (aula curta e amigável).
- Uma variável aleatória
com distribuição normal é descrita por sua média e variância . A notação é . - A forma prática de calcular probabilidades é transformar
em uma variável normal padrão , que tem média e variância : - Depois usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para achar
. - Primeiro calculemos o desvio padrão da pá:
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo.
- Queremos
para . - Padronizo:
- Logo
. - Usando a simetria da normal padrão (ou tabela):
e . Portanto . - Interpretando: cerca de
das pás pesam menos que t.
Passo 4
Teorema da combinação linear (explicação didática).
- Se
são variáveis normais independentes com médias e variâncias , então a soma é normal com
- Aqui assumimos que as 4 pás têm pesos independentes e identicamente distribuídos como
. - Aplicando: para
,
- Portanto
e o desvio padrão da carga é t.
Passo 5
Resolvendo (b) passo a passo.
- Queremos
com . - Padronizo:
- Então
. - Usando tabela/ calculadora:
. Logo
- Interpretação: aproximadamente
de chance de a carga da balsa exceder t — bem raro.