( \mathbf{8} pontos) Um pesquisador está estudando a ocorrência de uma doença rara em plantas de soja em uma determinada lavoura. Ele sabe que a probabilidade de uma planta estar doente é 0,002 e está analisando uma parcela experimental com 2000 plantas. Pede-se: Calcule a probabilidade de que nesta parcela experimental, pelo menos 2 plantas sejam acometidas pela doença, admitindo-se que X, a variàvel aleatória que informa o número de plantas acometidas pela doença, seja conforme informado nos itens a seguir:
a. (4 pontos ) X \sim \operatorname{Binomial}(N, p).
b. (4 pontos ) X \sim \operatorname{Poisson}(m).

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que pedem):
  • Temos uma parcela com 2000 plantas e a probabilidade de uma planta estar doente é 0,002.
  • A variável aleatória X representa o número de plantas acometidas na parcela.
  • Pedem a probabilidade de que, nessa parcela experimental, pelo menos 2 plantas sejam acometidas, isto é, calcular \mathbb{P}(X\ge 2), nos dois cenários abaixo:
    a) \,X\sim\operatorname{Binomial}(N,p) com N=2000 e p=0,002.
    b) \,X\sim\operatorname{Poisson}(m) (usar o parâmetro m adequado).

Passo 2

Entendendo a pergunta e estratégia geral (sem cálculos ainda).
  • Pedem \mathbb{P}(X\ge 2). É muito mais simples calcular o complementar \mathbb{P}(X\ge 2)=1-\mathbb{P}(X\le 1)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\big). Vamos usar isso nos dois modelos porque evita somar muitas probabilidades.
  • Irei escrever as fórmulas das probabilidades em cada modelo e então calcular \mathbb{P}(X=0) e \mathbb{P}(X=1).

Passo 3

Modelo a) X\sim\operatorname{Binomial}(N,p). Fórmula e interpretação.
  • A fórmula da probabilidade no modelo binomial é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{N}{k} p^{k}(1-p)^{N-k},
onde N é o número de ensaios (plantas), p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (planta doente) e k é o número de sucessos observados.
  • Para k=0 e k=1 temos:
\mathbb{P}(X=0)=(1-p)^{N},
\mathbb{P}(X=1)=\binom{N}{1}p(1-p)^{N-1}=Np(1-p)^{N-1}.
  • Portanto
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-\big((1-p)^{N}+Np(1-p)^{N-1}\big).

Passo 4

Cálculo numérico para o caso binomial (detalhado, passo a passo).
  • Substituindo N=2000 e p=0,002:
\mathbb{P}(X=0)=(1-0,002)^{2000}=(0,998)^{2000}.
  • Para calcular (0,998)^{2000} sem recorrer a uma calculadora complicada, usamos logaritmos: (0,998)^{2000}=\exp\big(2000\ln(0,998)\big).
    • Aproximação de \ln(1-x) para x=0,002: \ln(1-x)\approx -x-\dfrac{x^{2}}{2}. Assim
    \ln(0,998)=\ln(1-0,002)\approx -0,002-\frac{(0,002)^{2}}{2}=-0,002-0,000002=-0,002002.
    • Multiplicando por 2000: 2000\ln(0,998)\approx 2000\cdot(-0,002002)=-4,004.
    • Logo (0,998)^{2000}\approx e^{-4,004}. Sabemos e^{-4}\approx 0,018315639, e e^{-4,004}=e^{-4}e^{-0,004}\approx 0,018315639\cdot 0,996003\approx 0,01824.
    • Assim vamos usar \mathbb{P}(X=0)\approx 0,01824.
  • Agora \mathbb{P}(X=1)=2000\cdot0,002\cdot(0,998)^{1999}=4\cdot(0,998)^{1999}.
    • Note que (0,998)^{1999}=(0,998)^{2000}/0,998. Então
    \mathbb{P}(X=1)\approx 4\cdot\frac{0,01824}{0,998}\approx 4\cdot0,01828\approx 0,07312.
  • Somando: \mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\approx 0,01824+0,07312=0,09136.
  • Finalmente: \mathbb{P}(X\ge 2)=1-0,09136\approx 0,90864.

Passo 5

Modelo b) X\sim\operatorname{Poisson}(m). Fórmula, escolha de m e cálculo.
  • A distribuição de Poisson com parâmetro m tem
\mathbb{P}(X=k)=e^{-m}\frac{m^{k}}{k!}.
  • Para processos binomiais com N grande e p pequeno (evento raro), a Poisson é frequentemente usada como aproximação com m=Np. Aqui:
m=Np=2000\cdot0,002=4.
  • Queremos \mathbb{P}(X\ge 2)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\big). Calcule: \mathbb{P}(X=0)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4},
\mathbb{P}(X=1)=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4e^{-4}.
  • Logo
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-e^{-4}(1+4)=1-5e^{-4}.
  • Usando e^{-4}\approx 0,018315639:
\mathbb{P}(X\ge 2)\approx 1-5\cdot0,018315639=1-0,091578195\approx 0,90842.

Passo 6

Comentário comparativo e dica prática (curta):
  • Os dois resultados ficam muito próximos: cerca de 0,9086 (binomial exata aproximada) e 0,9084 (Poisson). Isso era esperado porque N é grande e p é pequeno, condição clássica para a aproximação de Poisson com m=Np.
  • Em prova, se o enunciado pede o binomial mas os números tornam o cálculo pesado, use a técnica do complementar e, se N grande e p pequeno, a aproximação de Poisson é uma alternativa rápida e aceita em muitos contextos.

Resposta

(a) \, \mathbb{P}(X\ge 2)\approx 0,90864\n
(b) \, \mathbb{P}(X\ge 2)=1-5e^{-4}\approx 0,90842

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