(
pontos) Um pesquisador está estudando a ocorrência de uma doença rara em plantas de soja em uma determinada lavoura. Ele sabe que a probabilidade de uma planta estar doente é 0,002 e está analisando uma parcela experimental com 2000 plantas. Pede-se: Calcule a probabilidade de que nesta parcela experimental, pelo menos 2 plantas sejam acometidas pela doença, admitindo-se que
, a variàvel aleatória que informa o número de plantas acometidas pela doença, seja conforme informado nos itens a seguir:
a.
pontos
.
b.
pontos
.
a.
b.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que pedem):
- Temos uma parcela com
plantas e a probabilidade de uma planta estar doente é . - A variável aleatória
representa o número de plantas acometidas na parcela. - Pedem a probabilidade de que, nessa parcela experimental, pelo menos
plantas sejam acometidas, isto é, calcular , nos dois cenários abaixo:
a)com e .
b)(usar o parâmetro adequado).
Passo 2
Entendendo a pergunta e estratégia geral (sem cálculos ainda).
- Pedem
. É muito mais simples calcular o complementar . Vamos usar isso nos dois modelos porque evita somar muitas probabilidades. - Irei escrever as fórmulas das probabilidades em cada modelo e então calcular
e .
Passo 3
Modelo a)
. Fórmula e interpretação.
- A fórmula da probabilidade no modelo binomial é
onde
é o número de ensaios (plantas),
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (planta doente) e
é o número de sucessos observados.
- Para
e temos:
- Portanto
Passo 4
Cálculo numérico para o caso binomial (detalhado, passo a passo).
- Substituindo
e :
- Para calcular
sem recorrer a uma calculadora complicada, usamos logaritmos: . - Aproximação de
para : . Assim
- Multiplicando por
: . - Logo
. Sabemos , e . - Assim vamos usar
.
- Aproximação de
- Agora
. - Note que
. Então
- Note que
- Somando:
- Finalmente:
Passo 5
Modelo b)
. Fórmula, escolha de
e cálculo.
- A distribuição de Poisson com parâmetro
tem
- Para processos binomiais com
grande e pequeno (evento raro), a Poisson é frequentemente usada como aproximação com . Aqui:
- Queremos
. Calcule:
- Logo
- Usando
:
Passo 6
Comentário comparativo e dica prática (curta):
- Os dois resultados ficam muito próximos: cerca de
(binomial exata aproximada) e (Poisson). Isso era esperado porque é grande e é pequeno, condição clássica para a aproximação de Poisson com . - Em prova, se o enunciado pede o binomial mas os números tornam o cálculo pesado, use a técnica do complementar e, se
grande e pequeno, a aproximação de Poisson é uma alternativa rápida e aceita em muitos contextos.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)