Uma agência publicitária criou dois anúncios
e
para promover uma marca, que serâo exibidos nas redes sociais. Em uma das plataformas, o anúncio
será exibido para
milhōes de usuários da rede, enquanto o anúmcio
será exibido para
milhōes de usuários. A receita gerada pelas exibiçōes pode ser modelada pela função
Determine os valores de
e de
que maximizam a receita.
Passo 1
O enunciado dá a função receita
onde
e
representam, respectivamente, o número de milhões de usuários que verão o anúncio
e o anúncio
. A tarefa é determinar os valores de
e
que maximizam a receita.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão exata de
. - Contexto prático:
e medem milhões de usuários, portanto faz sentido considerar o domínio e (não faz sentido “negativo” de milhões de usuários).
O que temos que encontrar: os valores dee (em milhões) que maximizam .
Passo 2
Plano de resolução (explicando a técnica de forma didática): para funções de duas variáveis contínuas, pontos candidatos a extremos interiores são os pontos críticos, obtidos fazendo as derivadas parciais iguais a zero (isso é análogo a igualar a derivada a zero em uma função de uma variável). Depois classificamos cada ponto crítico usando as segundas derivadas (teste do discriminante/Hessiano 2D). Vou explicar cada peça:
Definição de derivada parcial (explicação didática):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada ou , é a taxa de variação de quando só mudamos e mantemos fixo. Na prática, diferenciamos como se fosse constante. - Igual para a derivada parcial em relação a
, : diferenciamos tratando fixo.
A condição de ponto crítico é
Depois, para classificar, usamos as segundas derivadas:
e o discriminante (determinante do Hessiano)
Interpretação do teste em duas variáveis:
- Se
e então temos um máximo local. - Se
e então temos um mínimo local. - Se
temos ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora calculamos as derivadas parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras.
Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante):
Cada termo:
-
. -
(pois é tratado como constante). -
. -
.
Logo
Diferenciando em relação a
:
Cada termo:
-
. -
. -
. -
.
Logo
Passo 4
Encontrar os pontos críticos: resolver o sistema
Da primeira equação temos
Da segunda:
Igualando as duas expressões para
:
Colocando tudo num lado:
Assim as soluções para
são
e
.
Correspondentes valores de
:
- Se
, então . Ponto . - Se
, então . Ponto .
Portanto os pontos críticos são
e
.]
Passo 5
Aplicar o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos.
Calcular as segundas derivadas:
O discriminante (determinante do Hessiano) é
Agora avaliaremos em cada ponto crítico:
- Em
:
Como
, isso indica um ponto de sela (nem máximo, nem mínimo).
- Em
:
Como
e
, pelo teste temos um máximo local em
.
Passo 6
Verificar se esse máximo local é também o máximo relevante para o problema prático (domínio com
).
Intuição e argumento: para
, quando
o termo
domina e faz
; quando
o termo
domina e faz
. Assim, a função tende a
na “infinidade” do primeiro quadrante, o que garante que a função contínua atinge um máximo global no fecho do primeiro quadrante. Já avaliamos os candidatos interiores e as possíveis bordas simples:
- Borda
com : , cujo máximo ocorre em com . - Borda
com : , cujo máximo em ocorre em com .
Avaliação do valor no ponto crítico interior:
Fazendo a conta exata (mostrar passo a passo):
Somando as frações:
Portanto
que é maior que
. Como o único máximo interior é esse e as bordas não dão valor maior, concluímos que, no domínio prático
, o ponto
é o ponto de máxima receita (máximo global no primeiro quadrante).
Observação importante (pra não confundir): se o problema permitisse
arbitrariamente negativos, então não existiria máximo global sobre todo
, porque para
o termo
tende a
. Mas, novamente, no contexto prático de milhões de usuários consideramos
.