Uma agência publicitária criou dois anúncios A e B para promover uma marca, que serâo exibidos nas redes sociais. Em uma das plataformas, o anúncio A será exibido para x milhōes de usuários da rede, enquanto o anúmcio B será exibido para y milhōes de usuários. A receita gerada pelas exibiçōes pode ser modelada pela função
R(x, y)=-x^{3}-2 y^{2}+3 x y+20000 .
Determine os valores de x e de y que maximizam a receita.

Passo 1

O enunciado dá a função receita
R(x,y) = -x^{3} - 2y^{2} + 3xy + 20000,
onde \,x e \,y representam, respectivamente, o número de milhões de usuários que verão o anúncio A e o anúncio B. A tarefa é determinar os valores de \,x e \,y que maximizam a receita.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão exata de R(x,y).
  • Contexto prático: \,x e \,y medem milhões de usuários, portanto faz sentido considerar o domínio \,x\ge 0 e \,y\ge 0 (não faz sentido “negativo” de milhões de usuários).
    O que temos que encontrar: os valores de \,x e \,y (em milhões) que maximizam R.

Passo 2

Plano de resolução (explicando a técnica de forma didática): para funções de duas variáveis contínuas, pontos candidatos a extremos interiores são os pontos críticos, obtidos fazendo as derivadas parciais iguais a zero (isso é análogo a igualar a derivada a zero em uma função de uma variável). Depois classificamos cada ponto crítico usando as segundas derivadas (teste do discriminante/Hessiano 2D). Vou explicar cada peça:
Definição de derivada parcial (explicação didática):
  • A derivada parcial de R em relação a x, denotada \partial R/\partial x ou R_x, é a taxa de variação de R quando só mudamos x e mantemos y fixo. Na prática, diferenciamos R como se y fosse constante.
  • Igual para a derivada parcial em relação a y, R_y: diferenciamos tratando x fixo.
A condição de ponto crítico é
R_x(x,y)=0,\qquad R_y(x,y)=0.
Depois, para classificar, usamos as segundas derivadas:
R_{xx},\quad R_{yy},\quad R_{xy}
e o discriminante (determinante do Hessiano)
D(x,y)=R_{xx}(x,y)\,R_{yy}(x,y)-\big(R_{xy}(x,y)\big)^{2}.
Interpretação do teste em duas variáveis:
  • Se D>0 e R_{xx}<0 então temos um máximo local.
  • Se D>0 e R_{xx}>0 então temos um mínimo local.
  • Se D<0 temos ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora calculamos as derivadas parciais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras.
Diferenciando R(x,y) = -x^{3} - 2y^{2} + 3xy + 20000 em relação a x (tratando y como constante):
R_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(-2y^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(3xy\big) + \frac{\partial}{\partial x}(20000).
Cada termo:
  • \partial(-x^{3})/\partial x = -3x^{2}.
  • \partial(-2y^{2})/\partial x = 0 (pois y é tratado como constante).
  • \partial(3xy)/\partial x = 3y.
  • \partial(20000)/\partial x = 0.
Logo
R_x(x,y) = -3x^{2} + 3y.
Diferenciando em relação a y:
R_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(-x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(-2y^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(3xy\big) + \frac{\partial}{\partial y}(20000).
Cada termo:
  • \partial(-x^{3})/\partial y = 0.
  • \partial(-2y^{2})/\partial y = -4y.
  • \partial(3xy)/\partial y = 3x.
  • \partial(20000)/\partial y = 0.
Logo
R_y(x,y) = -4y + 3x.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos: resolver o sistema
\begin{cases} R_x(x,y)= -3x^{2} + 3y = 0,\\[4pt] R_y(x,y)= -4y + 3x = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos
-3x^{2}+3y=0 \quad\Rightarrow\quad y = x^{2}.
Da segunda:
-4y+3x=0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x.
Igualando as duas expressões para y:
x^{2} = \frac{3}{4}x.
Colocando tudo num lado:
x^{2} - \frac{3}{4}x = 0 \quad\Rightarrow\quad x\Big(x-\frac{3}{4}\Big)=0.
Assim as soluções para x são \,x=0 e \,x=\tfrac{3}{4}.
Correspondentes valores de y:
  • Se x=0, então y = x^{2} = 0. Ponto (0,0).
  • Se x=\tfrac{3}{4}, então y = x^{2} = \big(\tfrac{3}{4}\big)^{2} = \tfrac{9}{16}. Ponto \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\big).
Portanto os pontos críticos são \,(0,0) e \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\big).]

Passo 5

Aplicar o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos.
Calcular as segundas derivadas:
R_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(-3x^{2}+3y) = -6x,
R_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(-4y+3x) = -4,
R_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(-3x^{2}+3y) = 3.
O discriminante (determinante do Hessiano) é
D(x,y) = R_{xx}R_{yy} - (R_{xy})^{2} = (-6x)(-4) - 3^{2} = 24x - 9.
Agora avaliaremos em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0):
R_{xx}(0,0) = -6\cdot 0 = 0,\qquad D(0,0) = 24\cdot 0 - 9 = -9 < 0.
Como D<0, isso indica um ponto de sela (nem máximo, nem mínimo).
  1. Em \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\big):
R_{xx}\!\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\Big) = -6\cdot \tfrac{3}{4} = -\tfrac{9}{2} < 0,
D\!\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\Big) = 24\cdot \tfrac{3}{4} - 9 = 18 - 9 = 9 > 0.
Como D>0 e R_{xx}<0, pelo teste temos um máximo local em \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\big).

Passo 6

Verificar se esse máximo local é também o máximo relevante para o problema prático (domínio com x\ge 0,\\ y\ge 0).
Intuição e argumento: para x,y\ge 0, quando x\to +\infty o termo -x^{3} domina e faz R\to -\infty; quando y\to +\infty o termo -2y^{2} domina e faz R\to -\infty. Assim, a função tende a -\infty na “infinidade” do primeiro quadrante, o que garante que a função contínua atinge um máximo global no fecho do primeiro quadrante. Já avaliamos os candidatos interiores e as possíveis bordas simples:
  • Borda x=0 com y\ge 0: R(0,y) = -2y^{2} + 20000, cujo máximo ocorre em y=0 com R(0,0)=20000.
  • Borda y=0 com x\ge 0: R(x,0) = -x^{3}+20000, cujo máximo em x\ge0 ocorre em x=0 com R(0,0)=20000.
Avaliação do valor no ponto crítico interior:
R\!\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\Big) = -\Big(\tfrac{3}{4}\Big)^{3} - 2\Big(\tfrac{9}{16}\Big)^{2} + 3\Big(\tfrac{3}{4}\Big)\Big(\tfrac{9}{16}\Big) + 20000.
Fazendo a conta exata (mostrar passo a passo):
-\Big(\tfrac{3}{4}\Big)^{3} = -\tfrac{27}{64},
-2\Big(\tfrac{9}{16}\Big)^{2} = -2\cdot \tfrac{81}{256} = -\tfrac{81}{128},
3\Big(\tfrac{3}{4}\Big)\Big(\tfrac{9}{16}\Big) = 3\cdot \tfrac{27}{64} = \tfrac{81}{64}.
Somando as frações:
-\tfrac{27}{64} - \tfrac{81}{128} + \tfrac{81}{64} = \tfrac{27}{32} - \tfrac{81}{128} = \tfrac{27}{128}.
Portanto
R\!\Big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\Big) = 20000 + \tfrac{27}{128} \approx 20000{,}2109375,
que é maior que R(0,0)=20000. Como o único máximo interior é esse e as bordas não dão valor maior, concluímos que, no domínio prático x\ge 0,\\ y\ge 0, o ponto \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\big) é o ponto de máxima receita (máximo global no primeiro quadrante).
Observação importante (pra não confundir): se o problema permitisse x arbitrariamente negativos, então não existiria máximo global sobre todo \mathbb{R}^{2}, porque para x\to -\infty o termo -x^{3} tende a +\infty. Mas, novamente, no contexto prático de milhões de usuários consideramos x,y\ge 0.

Resposta

\displaystyle x=\tfrac{3}{4} milhão, \displaystyle y=\tfrac{9}{16} milhão.

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