(2,5 pontos) Calcule a derivada da função f(x, y) = x^2 - 3y^2 no ponto P(0,2) e na direção de v = (1/2, 1/2).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-3y^{2}, o ponto P=(0,2) e o vetor de direção v=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). A pergunta é: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção de v.

Passo 2

O que significa “derivada direcional” e qual fórmula vamos usar?
A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário u é o quanto f cresce (ou decresce) quando nos deslocamos em direção a u a partir de P. A fórmula conveniente e padrão é
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar (dot product). Vou explicar cada peça:
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).Cada derivada parcial diz a taxa de variação de f em relação a uma variável mantendo a outra fixa.
  • O produto escalar entre (a,b) e (c,d) é a c + b d.
    Importante: a fórmula pede um vetor unitário u. Se o vetor de direção dado v não for unitário, normalizamos fazendo u=v/\|v\|, onde \|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f. Usando regras básicas de derivação (derivada de x^{2} é 2x; derivada de y^{2} em relação a y é 2y, e há o coeficiente -3):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-6y.
Logo o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(2x,-6y\right).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto P=(0,2):
\nabla f(0,2)=\left(2\cdot 0,\,-6\cdot 2\right)=\left(0,-12\right).
Interpretação: no ponto P a variação de f na direção x é 0 (nenhuma mudança infinitesimal), e na direção y é -12 (decresce rapidamente ao aumentar y).

Passo 5

Precisamos do vetor unitário na direção de v=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Primeiro calculamos a norma de v:
\|v\|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Normalizando v obtemos o vetor unitário u:
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\Big/\frac{1}{\sqrt{2}}=\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{2},\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Observação prática: \tfrac{1}{2}\div\tfrac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
D_{u}f(P)=\nabla f(0,2)\cdot u=(0,-12)\cdot\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Calculando o produto escalar:
D_{u}f(P)=0\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+(-12)\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}= -12\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Simplificando,
D_{u}f(P)=-6\sqrt{2}.

Passo 8

Verificação rápida usando a definição limite (só para eu te deixar mais seguro): com u=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right),
\frac{f\big((0,2)+t u\big)-f(0,2)}{t}
leva a -6\sqrt{2}-t, cujo limite quando t\to 0 é -6\sqrt{2}. Isso confirma o valor obtido pelo gradiente.

Resposta

-6\sqrt{2}

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