(2,5 pontos) Calcule a derivada da função f(x, y) = x^2 - 3y^2 no ponto P(0,2) e na direção de v = (1/2, 1/2).
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
. A pergunta é: calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
Passo 2
O que significa “derivada direcional” e qual fórmula vamos usar?
A derivada direcional de no ponto
na direção de um vetor unitário
é o quanto
cresce (ou decresce) quando nos deslocamos em direção a
a partir de
. A fórmula conveniente e padrão é
A derivada direcional de
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar (dot product). Vou explicar cada peça:
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais: Cada derivada parcial diz a taxa de variação de em relação a uma variável mantendo a outra fixa. - O produto escalar entre
e é .
Importante: a fórmula pede um vetor unitário. Se o vetor de direção dado não for unitário, normalizamos fazendo , onde .
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. Usando regras básicas de derivação (derivada de
é
; derivada de
em relação a
é
, e há o coeficiente
):
Logo o gradiente é
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
:
Interpretação: no ponto
a variação de
na direção
é
(nenhuma mudança infinitesimal), e na direção
é
(decresce rapidamente ao aumentar
).
Passo 5
Precisamos do vetor unitário na direção de
. Primeiro calculamos a norma de
:
Passo 6
Normalizando
obtemos o vetor unitário
:
Observação prática:
.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional como produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Simplificando,
Passo 8
Verificação rápida usando a definição limite (só para eu te deixar mais seguro): com
,
leva a
, cujo limite quando
é
. Isso confirma o valor obtido pelo gradiente.