Suponha que a temperatura no ponto ( x, y ) numa chapa metálica seja dada por
T(x, y)=200 e^{-x^{2}-y^{2}}
No ponto ( 2,3 ), determine a direção (na forma de um vetor unitário) em que a temperatura cresce mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa chapa metálica por
T(x,y)=200 e^{-x^{2}-y^{2}}
e pede, no ponto (2,3), a direção (na forma de um vetor unitário) em que a temperatura cresce mais rapidamente.
Informações relevantes:
\text{Função: }T(x,y)=200 e^{-x^{2}-y^{2}}çã
\text{Ponto: }(x,y)=(2,3)
\text{Queremos: vetor unitário que indica a direção de maior aumento de }T\text{ em }(2,3).áçã

Passo 2

Antes de calcular: o que significa “direção em que a temperatura cresce mais rapidamente”?
  • Para funções de duas variáveis, a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente.
  • Definição do gradiente: para uma função T(x,y), o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\;\frac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Propriedade fundamental (explicação intuitiva): o derivada direcional de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} vale \nabla T\cdot\mathbf{u}. Pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz, esse produto é no máximo \|\nabla T\|, alcançado quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla T. Logo, o gradiente aponta na direção de máxima taxa de crescimento e seu comprimento \|\nabla T\| é a taxa máxima de crescimento.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T. Usamos a regra da cadeia na exponencial:
\frac{\partial }{\partial x}\big(e^{-x^{2}-y^{2}}\big)=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}-y^{2})=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x).
Multiplicando pelo fator 200, obtemos
\frac{\partial T}{\partial x}=-400x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
De modo análogo para y:
\frac{\partial T}{\partial y}=-400y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla T(x,y)=\big(-400x\,e^{-x^{2}-y^{2}},\; -400y\,e^{-x^{2}-y^{2}}\big).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (2,3). Primeiro note que, da própria expressão, pego o valor de x=2 e y=3, e o fator exponencial é
e^{-x^{2}-y^{2}}=e^{-2^{2}-3^{2}}=e^{-4-9}=e^{-13}.
Substituindo:
\nabla T(2,3)=\big(-400\cdot 2\,e^{-13},\; -400\cdot 3\,e^{-13}\big)=\big(-800e^{-13},\; -1200e^{-13}\big).

Passo 5

Para obter o vetor unitário, normalizamos \nabla T(2,3). Calculamos a norma:
\|\nabla T(2,3)\|=\sqrt{(-800e^{-13})^{2}+(-1200e^{-13})^{2}}.
Fatorando e^{-13}:
\|\nabla T(2,3)\|=e^{-13}\sqrt{800^{2}+1200^{2}}.
Calculamos a soma dentro da raiz:
800^{2}+1200^{2}=640000+1440000=2080000.
Note que 2080000=400^{2}\cdot 13, então
\sqrt{2080000}=400\sqrt{13}.
Portanto
\|\nabla T(2,3)\|=e^{-13}\cdot 400\sqrt{13}.

Passo 6

Agora dividimos o gradiente pela sua norma para obter o vetor unitário na direção de maior crescimento:
\mathbf{u}=\frac{\nabla T(2,3)}{\|\nabla T(2,3)\|} =\frac{\big(-800e^{-13},-1200e^{-13}\big)}{400\sqrt{13}\,e^{-13}}.
Cancelando e^{-13} e dividindo por 400:
\mathbf{u}=\left(-\frac{800}{400\sqrt{13}},\; -\frac{1200}{400\sqrt{13}}\right) =\left(-\frac{2}{\sqrt{13}},\; -\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Esse é o vetor unitário que aponta na direção em que a temperatura cresce mais rapidamente em (2,3). (Observação intuitiva: os sinais negativos indicam que a direção de crescimento é apontando para o sentido do origem, pois a temperatura decresce quando nos afastamos do centro.)

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{13}},\; -\frac{3}{\sqrt{13}}\right)

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