Suponha que a temperatura no ponto (
) numa chapa metálica seja dada por
No ponto ( 2,3 ), determine a direção (na forma de um vetor unitário) em que a temperatura cresce mais rapidamente.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura numa chapa metálica por
e pede, no ponto
, a direção (na forma de um vetor unitário) em que a temperatura cresce mais rapidamente.
Informações relevantes:
Passo 2
Antes de calcular: o que significa “direção em que a temperatura cresce mais rapidamente”?
- Para funções de duas variáveis, a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente.
- Definição do gradiente: para uma função
, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Propriedade fundamental (explicação intuitiva): o derivada direcional de
na direção de um vetor unitário vale . Pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz, esse produto é no máximo , alcançado quando tem a mesma direção de . Logo, o gradiente aponta na direção de máxima taxa de crescimento e seu comprimento é a taxa máxima de crescimento.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia na exponencial:
Multiplicando pelo fator
, obtemos
De modo análogo para
:
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Primeiro note que, da própria expressão, pego o valor de
e
, e o fator exponencial é
Substituindo:
Passo 5
Para obter o vetor unitário, normalizamos
. Calculamos a norma:
Fatorando
:
Calculamos a soma dentro da raiz:
Note que
, então
Portanto
Passo 6
Agora dividimos o gradiente pela sua norma para obter o vetor unitário na direção de maior crescimento:
Cancelando
e dividindo por
:
Esse é o vetor unitário que aponta na direção em que a temperatura cresce mais rapidamente em
. (Observação intuitiva: os sinais negativos indicam que a direção de crescimento é apontando para o sentido do origem, pois a temperatura decresce quando nos afastamos do centro.)