Calcule \frac{\partial f}{\partial u}, se f(x, y, z)=x^{2}-3 y+2 x z e x=u v, y=u+v e z=u-v^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}-3y+2xz e as substituições x=uv, y=u+v e z=u-v^{2}. A pergunta é: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}, ou seja, a derivada parcial de f em relação a u quando as variáveis x,y,z são funções de u e v.

Passo 2

Quando x,y,z dependem de u (e de v), a derivada parcial de f em relação a u é dada pela regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula é:
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial u}.
Aqui cada termo significa:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y,z como constantes;
  • \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} é a derivada de x(u,v) em relação a u, tratando v como constante;
  • e assim por diante para os outros pares.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x,y,z. Lembre-se: ao derivar em relação a uma letra, as outras são tratadas como constantes.
A função é f(x,y,z)=x^{2}-3y+2xz. Então:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2z,
\frac{\partial f}{\partial y}=-3,
\frac{\partial f}{\partial z}=2x.
Explicando linha a linha: \partial (x^{2})/\partial x=2x, \partial (-3y)/\partial x=0, \partial (2xz)/\partial x=2z. Para \partial f/\partial y só sobra -3. Para \partial f/\partial z só sobra 2x.

Passo 4

Agora calculemos as derivadas de x,y,z em relação a u, lembrando que v é tratado como constante:
x(u,v)=uv \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}=v,
y(u,v)=u+v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u}=1,
z(u,v)=u-v^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial u}=1.
Explicação rápida: derivada de uv por u com v constante é v; de u+v é 1; de u-v^{2} é 1 porque v^{2} é constante.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial u}=(2x+2z)\cdot v+(-3)\cdot 1+(2x)\cdot 1.
Isso simplifica para
\frac{\partial f}{\partial u}=(2x+2z)v-3+2x.

Passo 6

Agora substituímos x=uv e z=u-v^{2} para escrever a resposta em função de u e v. Primeiro calcule 2x+2z:
2x+2z=2(uv)+2(u-v^{2})=2uv+2u-2v^{2}=2u(v+1)-2v^{2}.
Multiplicando por v:
(2x+2z)v=2u v(v+1)-2v^{3}=2u v^{2}+2u v-2v^{3}.
Agora some 2x=2uv e subtraia 3:
\frac{\partial f}{\partial u}=2u v^{2}+2u v-2v^{3}+2uv-3.
Juntando termos semelhantes ( 2u v + 2u v = 4u v):
\frac{\partial f}{\partial u}=2u v^{2}+4u v-2v^{3}-3.

Resposta

\;2u v^{2}+4u v-2v^{3}-3

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