Calcule
, se
e
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e as substituições
,
e
. A pergunta é: calcular
, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
quando as variáveis
são funções de
e
.
Passo 2
Quando
dependem de
(e de
), a derivada parcial de
em relação a
é dada pela regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula é:
Aqui cada termo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constantes; -
é a derivada de em relação a , tratando como constante; - e assim por diante para os outros pares.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Lembre-se: ao derivar em relação a uma letra, as outras são tratadas como constantes.
A função é . Então:
A função é
Explicando linha a linha:
,
,
. Para
só sobra
. Para
só sobra
.
Passo 4
Agora calculemos as derivadas de
em relação a
, lembrando que
é tratado como constante:
Explicação rápida: derivada de
por
com
constante é
; de
é
; de
é
porque
é constante.
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Isso simplifica para
Passo 6
Agora substituímos
e
para escrever a resposta em função de
e
. Primeiro calcule
:
Multiplicando por
:
Agora some
e subtraia
:
Juntando termos semelhantes (
+
):