Agora considere o exercício anterior com a diferença de que, ao invés de maximizar o lucro, a firma maximize sua recita total. Obtenha \frac{d x^{*}}{d t} e compare com o resultado do exemplo e exercício anteriores.

Passo 1

O enunciado pede: obter \dfrac{d x^{*}}{d t} quando, ao invés de maximizar o lucro, a firma maximiza sua receita total; e comparar esse resultado com o do exemplo/exercício anteriores.
Informações relevantes que o enunciado original referencia (mas que NÃO foram enviadas aqui): a forma exata da função demanda/inversa p(\cdot), a função custo c(\cdot) e como o parâmetro t entra no problema (por exemplo: é um imposto por unidade pago pela firma, ou é um imposto sobre o preço que afeta a demanda, etc.). Como isso não foi fornecido, não dá para dar uma única resposta única. Então vou proceder assim: explico de forma didática os casos padrão que costumam aparecer em exercícios e, para cada caso, mostro passo a passo como obter \dfrac{d x^{*}}{d t} quando o objetivo é maximizar receita total, e então comparo com a expressão típica obtida quando a firma maximiza lucro.

Passo 2

Definições e ideias básicas (aulas rápidas e intuitivas).
  • Receita total: \;R(x,t)=p(x,t)\,x\;, onde x é a quantidade produzida/vendida e p(x,t) é o preço (inversa da demanda), possivelmente dependente de t.
    • Explicação: p(x,t) é o preço por unidade que os consumidores pagam (ou que a firma obtém), multiplicado por x dá a receita total.
  • Derivadas úteis:
    • A primeira derivada da receita em relação a x (derivada marginal da receita) é R_x(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}\big(p(x,t)\,x\big)=p(x,t)+x\,p_x(x,t).
      • Interpretação: receita marginal = preço corrente mais efeito de preço sobre receita quando se vende mais (o termo x p_x).
    • A segunda derivada em relação a x é R_{xx}(x,t)=2\,p_x(x,t)+x\,p_{xx}(x,t).
      • Interpretação: é a curvatura da receita; para máximo interior queremos R_{xx}<0.
  • Condição de interior para máximo de receita: R_x(x^*,t)=0 e R_{xx}(x^*,t)<0.

Passo 3

Caso A — o parâmetro t não afeta a função demanda/preço (isto é, p(x,t)=p(x) e t aparece apenas em lucro, ou não aparece no problema de receita).
  • Objetivo da firma (agora): maximizar R(x)=p(x)\,x. A condição de primeira ordem é R_x(x^*)=p(x^*)+x^* p'(x^*)=0.
  • Observe que nessa equação NÃO aparece t. Logo, se t não entra em p e a firma está maximizando receita, a quantidade ótima x^* satisfaz uma equação independente de t. Portanto, ao diferenciar implicitamente em relação a t obtemos 0 = \frac{d}{dt}\big(R_x(x^*,t)\big)=R_{xx}(x^*,t)\,\frac{d x^*}{d t} + \underbrace{R_{xt}(x^*,t)}_{=0},e como R_{xt}=0 neste caso, R_{xx}(x^*)\,\frac{d x^*}{d t}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d x^*}{d t}=0,desde que R_{xx}(x^*)\neq 0.
  • Interpretação didática: se a firma só se importa com receita total e o imposto t não altera a demanda/preço que determina R, então a escolha que maximiza receita não muda quando t muda — a otimização é independente de t.
  • Comparação com o caso lucro-maximizador (caso padrão onde o imposto é um imposto por unidade pago pela firma): naquele caso a condição de primeira ordem para lucro \pi(x)=R(x)-c(x)-t x era R_x(x^*)-c'(x^*)-t=0,que depende explicitamente de t. Diferenciando obtemos tipicamente \frac{d x^*}{d t}=\frac{1}{R_{xx}(x^*)-c''(x^*)}.Assim, quando o imposto entra no lucro como -t x, o lucro-maximizador modifica sua quantidade com t (tipicamente \dfrac{d x^*}{d t}<0 porque o denominador é negativo), enquanto o receita-maximizador, no caso A, não muda ( \dfrac{d x^*}{d t}=0). Isso já indica uma diferença importante: maximizar receita ignora termos lineares em x que aparecem apenas no lucro.

Passo 4

Caso B — o parâmetro t afeta a demanda (preço) diretamente: isto é, p=p(x,t). Este é o caso em que um imposto pode, por exemplo, alterar o preço líquido recebido ou o preço pago pelo consumidor, deslocando a curva de demanda; então t entra em p. Aqui temos um resultado geral e prático que cobre muitos exercícios.
  • Condição de primeira ordem (máximo de receita): R_x(x,t)=p(x,t)+x\,p_x(x,t)=0.
  • Diferenciando implicitamente essa igualdade em relação a t (tratando x^*(t) como função de t): 0=\frac{d}{dt}\big(p(x,t)+x\,p_x(x,t)\big) =\big( p_x+ x\,p_{xx}+p_x\big)\frac{d x^*}{d t} + \big(p_t + x\,p_{xt}\big),onde todas as derivadas são avaliadas em (x^*(t),t). Agrupando os termos de \dfrac{d x^*}{d t}, 0 = \big(2 p_x(x^*,t)+ x^* p_{xx}(x^*,t)\big)\frac{d x^*}{d t} + \big(p_t(x^*,t) + x^* p_{xt}(x^*,t)\big).
  • Portanto: \boxed{\displaystyle \frac{d x^*}{d t} = -\frac{p_t(x^*,t) + x^* p_{xt}(x^*,t)}{\,2 p_x(x^*,t) + x^* p_{xx}(x^*,t)\,} }Essa é a expressão geral quando p depende de t.
  • Interpretação das peças:
    • Numerador p_t + x p_{xt}: mede como a condição de F.O.C. se altera diretamente com t; se p cai quando t aumenta (por exemplo p_t<0), isso tende a reduzir x^* (dependendo do sinal do denominador).
    • Denominador 2 p_x + x p_{xx} = R_{xx}: é a curvatura da receita; para um máximo interior queremos R_{xx}<0.
  • Caso particular frequente: se a dependência é simplesmente p(x,t)=\bar p(x)-t (isto é, um imposto por unidade cobrado aos consumidores que desloca a curva para baixo de forma unitária), então p_t=-1 e p_{xt}=0. Logo \frac{d x^*}{d t} = -\frac{-1 + 0}{2 \bar p'(x^*) + x^* \bar p''(x^*)} = \frac{1}{2 \bar p'(x^*) + x^* \bar p''(x^*)}.Como o denominador 2 \bar p'(x^*) + x^* \bar p''(x^*) é normalmente negativo (receita é côncava na vizinhança do máximo), obtemos \dfrac{d x^*}{d t}<0: aumento de t reduz x^*.
  • Comparação com o lucro-maximizador (quando p também depende de t da mesma maneira): para lucro com \pi(x,t)=R(x,t)-c(x) a condição F.O.C. é R_x(x^*,t)-c'(x^*)=0. Diferenciando obtemos \frac{d x^*}{d t} = -\frac{p_t(x^*,t) + x^* p_{xt}(x^*,t)}{R_{xx}(x^*,t)-c''(x^*)}.Compare com a expressão de receita-maximizador (denominador sem o -c''). Assim, a presença de custo altera a sensibilidade: o lucro-maximizador ajusta mais (ou menos) dependendo do sinal de c''. Em particular, porque R_{xx}-c'' < R_{xx} (lembre que c''>0 geralmente), a magnitude de \dfrac{d x^*}{dt} para o lucro-maximizador tende a ser menor (em valor absoluto) do que para o receita-maximizador — mas o sinal será o mesmo dado o mesmo numerador.

Passo 5

Resumo intuitivo e comparação final (linguagem leve):
  • Se t não entra na função de preço/demanda, então o firma que maximiza receita ignora t: \dfrac{d x^*}{d t}=0. Já o lucro-maximizador normalmente ajusta x^* porque o imposto aparece diretamente no lucro (ex.: termo -t x), então \dfrac{d x^*}{dt}\neq 0 naquele caso. Conclusão: receita-maximizador pode ser inalterado por impostos que só batem no lucro, enquanto lucro-maximizador reage.
  • Se t altera a demanda/preço (caso comum em exercícios), a expressão geral para o receita-maximizador é \frac{d x^*}{d t} = -\frac{p_t + x^* p_{xt}}{2 p_x + x^* p_{xx}}.Nessa mesma situação, o lucro-maximizador tem \frac{d x^*}{d t} = -\frac{p_t + x^* p_{xt}}{2 p_x + x^* p_{xx} - c''(x^*)}.A diferença está no termo -c''(x^*) no denominador: o custo (curvatura do custo) altera a sensibilidade do lucro-maximizador. Em geral (com c''>0) o denominador do lucro-maximizador é mais negativo, o que muda a magnitude (normalmente reduz o ajuste absoluto) mas não altera necessariamente o sinal.
  • Em palavras de amigo: maximizar receita é olhar só para o numerador de entrada de dinheiro e ignorar custos — por isso em muitas configurações a reação a um imposto que só afeta o lucro é zero; quando o imposto mexe na demanda, ambos reagem, mas o custo influencia quão forte é a resposta no caso do lucro-maximizador.

Resposta

Caso em que t não afeta o preço (isto é, p(x,t)=p(x)): \dfrac{d x^{*}}{d t}=0
Caso geral em que p=p(x,t) (o imposto desloca a demanda): \boxed{\displaystyle \frac{d x^{*}}{d t} = -\frac{p_t(x^*,t) + x^* p_{xt}(x^*,t)}{\,2 p_x(x^*,t) + x^* p_{xx}(x^*,t)\,}}
Comparação com o lucro-maximizador (mesmo p(x,t)): \boxed{\displaystyle \frac{d x^{*}}{d t}\Big|_{\text{lucro}} = -\frac{p_t(x^*,t) + x^* p_{xt}(x^*,t)}{\,2 p_x(x^*,t) + x^* p_{xx}(x^*,t) - c''(x^*)\,}}

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