Agora efetue as seguintes operações com os campos dados em (I) e (II). (Caso não seja possível executar a operação solicitada, justifique).
\operatorname{grad} h^{2}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação \operatorname{grad} h^{2} usando os campos dados em (I) e (II). As informações relevantes que o enunciado fornece são:
  • A operação a ser calculada é \operatorname{grad} h^{2}.
  • O enunciado menciona campos em (I) e (II), que deveriam definir h (ou os valores necessários).
    Observação: os campos (I) e (II) não foram enviados aqui. Sem saber explicitamente o que é h em (I) e em (II) não é possível avaliar numericamente a expressão pedida.

Passo 2

O que é o gradiente de um campo escalar? Vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando juntos na biblioteca.
  • Se h é um campo escalar de variáveis espaciais, por exemplo h=h(x,y,z), então o gradiente de h, escrito \operatorname{grad}h ou \nabla h, é o vetor formado pelas derivadas parciais de h:
\operatorname{grad}h=\nabla h=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},\frac{\partial h}{\partial z}\right).
  • Em 2D, para h=h(x,y), a ideia é a mesma, só com duas componentes:
\operatorname{grad}h=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y}\right).
Intuição rápida: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de h e suas componentes dizem o quanto h muda ao mover-se nas direções dos eixos.

Passo 3

Como calcular \operatorname{grad}h^{2}? Aqui entra uma regra muito útil: a regra da cadeia para gradiente.
  • Considere a função composta g(h(\mathbf{x})) onde g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável e h é um campo escalar. A regra da cadeia diz:
\operatorname{grad}(g\circ h)=g'(h)\,\operatorname{grad}h.
  • No nosso caso g(t)=t^{2}. Então g'(t)=2t. Aplicando a regra da cadeia:
\operatorname{grad}(h^{2})=2\,h\,\operatorname{grad}h.
Essa é a fórmula-chave e muito usada em provas: multiplica-se o escalar 2h pelo vetor \operatorname{grad}h.

Passo 4

Vou mostrar em componentes para ficar claro como fazer na prova:
  • Se h=h(x,y,z), então
\frac{\partial}{\partial x}\big(h^{2}\big)=2h\frac{\partial h}{\partial x},\quad \frac{\partial}{\partial y}\big(h^{2}\big)=2h\frac{\partial h}{\partial y},\quad \frac{\partial}{\partial z}\big(h^{2}\big)=2h\frac{\partial h}{\partial z}.
Portanto
\operatorname{grad}(h^{2})=2h\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},\frac{\partial h}{\partial z}\right)=2h\,\operatorname{grad}h.
  • Exemplo concreto (para praticar): seja \;h(x,y)=x^{2}+y. Então \operatorname{grad}h=(2x,1). Usando a fórmula:
\operatorname{grad}(h^{2})=2h\,\operatorname{grad}h=2(x^{2}+y)(2x,1)=(4x(x^{2}+y),\,2(x^{2}+y)).
Você pode verificar também calculando diretamente as derivadas parciais de (x^{2}+y)^{2}; dá o mesmo resultado.

Passo 5

Aplicando isso ao enunciado: para efetuar \operatorname{grad}h^{2} para os campos dados em (I) e (II) eu preciso saber qual é a função h em cada caso (ou seja, o conteúdo de (I) e (II)). Como esses campos não foram fornecidos neste momento, não é possível fazer a avaliação explícita (numérica ou simbólica) para (I) e (II). O que posso afirmar com certeza é a fórmula geral que você deve usar assim que tiver h.

Resposta

\operatorname{grad}(h^{2})=2\,h\,\operatorname{grad}h.\nNão é possível avaliar explicitamente para os campos (I) e (II) porque os campos não foram fornecidos.

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