Agora efetue as seguintes operações com os campos dados em (I) e (II). (Caso não seja possível executar a operação solicitada, justifique).
Passo 1
O enunciado pede para efetuar a operação
usando os campos dados em (I) e (II). As informações relevantes que o enunciado fornece são:
- A operação a ser calculada é
. - O enunciado menciona campos em (I) e (II), que deveriam definir
(ou os valores necessários).
Observação: os campos (I) e (II) não foram enviados aqui. Sem saber explicitamente o que éem (I) e em (II) não é possível avaliar numericamente a expressão pedida.
Passo 2
O que é o gradiente de um campo escalar? Vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando juntos na biblioteca.
- Se
é um campo escalar de variáveis espaciais, por exemplo , então o gradiente de , escrito ou , é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- Em 2D, para
, a ideia é a mesma, só com duas componentes:
Intuição rápida: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e suas componentes dizem o quanto
muda ao mover-se nas direções dos eixos.
Passo 3
Como calcular
? Aqui entra uma regra muito útil: a regra da cadeia para gradiente.
- Considere a função composta
onde é diferenciável e é um campo escalar. A regra da cadeia diz:
- No nosso caso
. Então . Aplicando a regra da cadeia:
Essa é a fórmula-chave e muito usada em provas: multiplica-se o escalar
pelo vetor
.
Passo 4
Vou mostrar em componentes para ficar claro como fazer na prova:
- Se
, então
Portanto
- Exemplo concreto (para praticar): seja
. Então . Usando a fórmula:
Você pode verificar também calculando diretamente as derivadas parciais de
; dá o mesmo resultado.
Passo 5
Aplicando isso ao enunciado: para efetuar
para os campos dados em (I) e (II) eu preciso saber qual é a função
em cada caso (ou seja, o conteúdo de (I) e (II)). Como esses campos não foram fornecidos neste momento, não é possível fazer a avaliação explícita (numérica ou simbólica) para (I) e (II). O que posso afirmar com certeza é a fórmula geral que você deve usar assim que tiver
.