Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,1,3), v=(1,3,2)

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,1,3), v=(1,3,2)".
Dados fornecidos:
u=(4,1,3),\qquad v=(1,3,2).
Pergunta a responder: qual é o volume do paralelepípedo indicado no enunciado?

Passo 2

Observação importante sobre o enunciado (vou ser direto e claro): um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 é geralmente determinado por três vetores (cada aresta que sai de um vértice). Aqui o enunciado dá apenas dois vetores. Há duas interpretações razoáveis:
  1. O autor quis dizer “paralelogramo” (a figura 2D) determinado por u e v; então o “volume” pedido é na verdade a área do paralelogramo gerado por u e v.
  2. Se o enunciado realmente quer um paralelepípedo 3D, falta um terceiro vetor e não dá para calcular volume sem ele.
Como não posso pedir mais informação, vou assumir a interpretação 1 (muito comum em exercícios): calcular a área do paralelogramo gerado por u e v. Essa área é exatamente o módulo do produto vetorial u\times v. Eu explico por que e como calcular passo a passo.

Passo 3

Conceito e fórmula úteis (aula curtinha): o produto vetorial de dois vetores u e v em \mathbb{R}^3, denotado u\times v, é um vetor perpendicular a ambos cuja magnitude \lVert u\times v\rVert é a área do paralelogramo formado por u e v. Em fórmula:
\text{Área do paralelogramo}=\lVert u\times v\rVert.Á
Para calcular u\times v usamos a definição pelo determinante com a base canônica i,j,k:
u\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Aqui u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3). Vou aplicar isso ao caso dado.]

Passo 4

Calcular u\times v componente a componente. Substituindo u_1=4,u_2=1,u_3=3 e v_1=1,v_2=3,v_3=2, temos
u\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 4 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo por co-fatores:
u\times v = \mathbf{i}(1\cdot 2 - 3\cdot 3) - \mathbf{j}(4\cdot 2 - 3\cdot 1) + \mathbf{k}(4\cdot 3 - 1\cdot 1).
Agora calculando cada expressão:
1\cdot 2 - 3\cdot 3 = 2-9 = -7,
4\cdot 2 - 3\cdot 1 = 8-3 = 5,
4\cdot 3 - 1\cdot 1 = 12-1 = 11.
Portanto
u\times v = (-7)\,\mathbf{i} - 5\,\mathbf{j} + 11\,\mathbf{k},
ou em coordenadas
u\times v = (-7,-5,11).]

Passo 5

Agora calculamos a magnitude de u\times v, que é a área do paralelogramo:
\lVert u\times v\rVert = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + 11^2}.
Calculemos os quadrados:
(-7)^2 = 49,\qquad (-5)^2 = 25,\qquad 11^2 = 121.
Somando:
49 + 25 + 121 = 195.
Logo
\lVert u\times v\rVert = \sqrt{195}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: sob a interpretação mais natural dado que só vieram dois vetores, o “volume” requisitado corresponde à área do paralelogramo gerado por u e v, que é \sqrt{195}. Se o exercício original realmente queria o volume de um paralelepípedo 3D, aí faltaria um terceiro vetor e o procedimento correto seria usar o produto escalar triplo |u\cdot (v\times w)|. Mas com os dois vetores dados, a resposta acima é a que se calcula.

Resposta

\sqrt{195}

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