Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,1,3), v=(1,3,2)
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,1,3), v=(1,3,2)".
Dados fornecidos:
u=(4,1,3),\qquad v=(1,3,2).
Pergunta a responder: qual é o volume do paralelepípedo indicado no enunciado?
Passo 2
Observação importante sobre o enunciado (vou ser direto e claro): um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 é geralmente determinado por três vetores (cada aresta que sai de um vértice). Aqui o enunciado dá apenas dois vetores. Há duas interpretações razoáveis:
O autor quis dizer “paralelogramo” (a figura 2D) determinado por u e v; então o “volume” pedido é na verdade a área do paralelogramo gerado por u e v.
Se o enunciado realmente quer um paralelepípedo 3D, falta um terceiro vetor e não dá para calcular volume sem ele.
Como não posso pedir mais informação, vou assumir a interpretação 1 (muito comum em exercícios): calcular a área do paralelogramo gerado por u e v. Essa área é exatamente o módulo do produto vetorial u\times v. Eu explico por que e como calcular passo a passo.
Passo 3
Conceito e fórmula úteis (aula curtinha): o produto vetorial de dois vetores u e v em \mathbb{R}^3, denotado u\times v, é um vetor perpendicular a ambos cuja magnitude \lVert u\times v\rVert é a área do paralelogramo formado por u e v. Em fórmula:
\text{Área do paralelogramo}=\lVert u\times v\rVert.
Para calcular u\times v usamos a definição pelo determinante com a base canônica i,j,k:
Interpretação final e incentivo rápido: sob a interpretação mais natural dado que só vieram dois vetores, o “volume” requisitado corresponde à área do paralelogramo gerado por u e v, que é \sqrt{195}. Se o exercício original realmente queria o volume de um paralelepípedo 3D, aí faltaria um terceiro vetor e o procedimento correto seria usar o produto escalar triplo |u\cdot (v\times w)|. Mas com os dois vetores dados, a resposta acima é a que se calcula.