Exemplo: Estime o valor do comutador \left[x, \hat{P}_{x}\right] na representação de posição.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor do comutador \left[x, \hat{P}_{x}\right] na representação de posição. Informações relevantes dadas (ou implícitas) que vamos usar: \n
  • A definição do comutador entre dois operadores A e B é \left[A,B\right]=AB-BA. \n
  • Na representação de posição, o operador posição age por multiplicação: \hat{x} atua sobre uma função de onda \psi(x) como \hat{x}\psi(x)=x\,\psi(x). \n
  • Na representação de posição, o operador momento linear é dado pela convenção canônica \hat{P}_{x}=-i\hbar\frac{d}{dx}. \n
    Esses são todos os dados que precisamos para começar a conta.

Passo 2

Estratégia prática e por que ela funciona: para encontrar o operador \left[\hat{x},\hat{P}_{x}\right] é suficiente calcular como ele age numa função arbitrária \psi(x). Se para qualquer função \psi(x) válida tivermos \left[\hat{x},\hat{P}_{x}\right]\psi(x)=C\,\psi(x) com C independente de \psi, então \left[\hat{x},\hat{P}_{x}\right]=C como operador (ou seja, C vezes a identidade). Isso é válido porque operadores são iguais se agem da mesma forma sobre todas as funções de um domínio denso.

Passo 3

Calcule \hat{x}\hat{P}_{x}\psi(x). Usando \hat{P}_{x}=-i\hbar\frac{d}{dx} e \hat{x} por multiplicação:
\hat{x}\hat{P}_{x}\psi(x)=x\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\psi(x)\right)=-i\hbar\,x\,\psi'(x),
onde escrevi \psi'(x)=\frac{d\psi}{dx}. Isto é só aplicar primeiro \hat{P}_{x} e depois multiplicar por x.

Passo 4

Calcule \hat{P}_{x}\hat{x}\psi(x). Agora a ordem é primeiro multiplicar por x e depois derivar:
\hat{P}_{x}\hat{x}\psi(x)=-i\hbar\frac{d}{dx}\big(x\,\psi(x)\big).
Aplicamos a regra do produto para derivar x\psi(x):
\frac{d}{dx}\big(x\,\psi(x)\big)=1\cdot\psi(x)+x\cdot\psi'(x)=\psi(x)+x\,\psi'(x).
Portanto
\hat{P}_{x}\hat{x}\psi(x)=-i\hbar\big(\psi(x)+x\,\psi'(x)\big).

Passo 5

Forme o comutador agindo em \psi(x):
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi(x)=\hat{x}\hat{P}_{x}\psi(x)-\hat{P}_{x}\hat{x}\psi(x).
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi(x)=-i\hbar\,x\,\psi'(x)-\big(-i\hbar(\psi(x)+x\,\psi'(x))\big).
Simplificando os sinais:
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi(x)=-i\hbar x\psi'(x)+i\hbar\psi(x)+i\hbar x\psi'(x).
Os termos com x\psi'(x) se cancelam:
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi(x)=i\hbar\,\psi(x).

Passo 6

Conclusão operacional: como a igualdade \big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi(x)=i\hbar\,\psi(x) vale para qualquer \psi(x) do domínio, segue que o operador comutador é simplesmente i\hbar vezes a identidade. Em notação:
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]=i\hbar.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo concreto (para sentir a conta): tome \psi(x)=x^{2}. Então \psi'(x)=2x. Computando os lados diretamente:
\hat{x}\hat{P}_{x}\psi=-i\hbar x\cdot 2x=-2i\hbar x^{2},
\hat{P}_{x}\hat{x}\psi=-i\hbar\frac{d}{dx}(x\cdot x^{2})=-i\hbar\frac{d}{dx}(x^{3})=-i\hbar 3x^{2}=-3i\hbar x^{2},
\big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]\psi=(-2i\hbar x^{2})-(-3i\hbar x^{2})=i\hbar x^{2}=i\hbar\psi,
confirma a relação.

Passo 8

Comentário didático-final e incentivo: o resultado \big[\hat{x},\hat{P}_{x}\big]=i\hbar é a famosa relação de comutação canônica em mecânica quântica e é a raiz matemática do princípio da incerteza de Heisenberg entre posição e momento. Lembra: obtivemos isso apenas usando a forma de \hat{P}_{x} como derivada e a regra do produto — nada de truques esquisitos. Vai dar certo na prova, respira, e repete esse passo a passo algumas vezes que fica fácil de lembrar.

Resposta

\left[\hat{x},\hat{P}_{x}\right]=i\hbar

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