Exemplo: Estime o valor do comutador
na representação de posição.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o valor do comutador
na representação de posição. Informações relevantes dadas (ou implícitas) que vamos usar: \n
- A definição do comutador entre dois operadores
e é . \n - Na representação de posição, o operador posição age por multiplicação:
atua sobre uma função de onda como . \n - Na representação de posição, o operador momento linear é dado pela convenção canônica
. \n
Esses são todos os dados que precisamos para começar a conta.
Passo 2
Estratégia prática e por que ela funciona: para encontrar o operador
é suficiente calcular como ele age numa função arbitrária
. Se para qualquer função
válida tivermos
com
independente de
, então
como operador (ou seja,
vezes a identidade). Isso é válido porque operadores são iguais se agem da mesma forma sobre todas as funções de um domínio denso.
Passo 3
Calcule
. Usando
e
por multiplicação:
onde escrevi
. Isto é só aplicar primeiro
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Calcule
. Agora a ordem é primeiro multiplicar por
e depois derivar:
Aplicamos a regra do produto para derivar
:
Portanto
Passo 5
Forme o comutador agindo em
:
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
Simplificando os sinais:
Os termos com
se cancelam:
Passo 6
Conclusão operacional: como a igualdade
vale para qualquer
do domínio, segue que o operador comutador é simplesmente
vezes a identidade. Em notação:
Passo 7
Verificação rápida com um exemplo concreto (para sentir a conta): tome
. Então
. Computando os lados diretamente:
confirma a relação.
Passo 8
Comentário didático-final e incentivo: o resultado
é a famosa relação de comutação canônica em mecânica quântica e é a raiz matemática do princípio da incerteza de Heisenberg entre posição e momento. Lembra: obtivemos isso apenas usando a forma de
como derivada e a regra do produto — nada de truques esquisitos. Vai dar certo na prova, respira, e repete esse passo a passo algumas vezes que fica fácil de lembrar.