Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
d y / d x=x^{2} /\left(1-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}
e pede para resolvê‑la pelo método de separação de variáveis.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função de x e y.
  • O denominador 1-y^{2} fica nulo quando y=\pm 1; isso indica pontos singulares onde a equação não está definida.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

O método de separação de variáveis funciona quando a EDO pode ser escrita na forma
\frac{d y}{d x}=G(x)\,H(y),
pois aí podemos “separar” as variáveis y e x e integrar cada lado. Explicando devagar:
  • Queremos reunir todos os fatores que dependem de y do lado de dy e todos os fatores que dependem de x do lado de dx.
  • Depois integramos ambos os lados: a integral em y em relação a y e a integral em x em relação a x.
  • Sempre lembrar de adicionar uma constante de integração depois da integração.
No nosso caso a direita é produto de uma função só de x ( x^2) por uma função só de y (no inverso, (1-y^2)^{-1}), então a separação é possível.

Passo 3

Faço a separação algébrica, multiplicando ambos os lados por (1-y^{2})\,dx:
(1-y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
Aqui movi o termo em y para o lado esquerdo junto com dy e o termo em x para o lado direito junto com dx. Isso é permitido sempre que não multiplicarmos por zero — lembre que (1-y^{2}) não pode ser 0 na região onde aplicamos a separação (portanto evitamos y=\pm 1).

Passo 4

Integro ambos os lados. Vou mostrar passo a passo as integrais:
  • Do lado esquerdo:
\int(1-y^{2})\,dy=\int 1\,dy-\int y^{2}\,dy = y-\frac{y^{3}}{3}.
Nesse passo usei integrais básicas: \int 1\,dy = y e \int y^{2}\,dy = y^{3}/3.
  • Do lado direito:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Após integrar, coloco a constante de integração (uma só é suficiente, pois podemos agrupá‑la num único termo). Obtenho:
y-\frac{y^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

É comum simplificar multiplicando por 3 para evitar frações:
3y-y^{3}=x^{3}+C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Esta é a forma implícita da solução geral da EDO.
Observações importantes para a prova e para interpretar a solução:
  • A expressão é uma relação implícita entre y e x. Resolver explicitamente y em função de x exigiria resolver uma equação cúbica em y,
y^{3}-3y+(x^{3}+C_{1})=0,
o que pode ser feito com a fórmula de Cardano, mas é trabalhoso e raramente necessário: nas provas é aceitável deixar a solução em forma implícita como fizemos.
  • Sobre domínios: a equação original não está definida quando y=\pm 1. Assim, as soluções particulares que surgem dessa relação implícita não podem cruzar os níveis y=\pm 1; cada solução vale em intervalos onde y(x)\neq\pm 1.
  • Se for dada uma condição inicial (x_{0},y_{0}), basta substituir esses valores na fórmula implícita para determinar C. Exemplo rápido: se y(0)=0, substituindo em y-\tfrac{y^{3}}{3}=\tfrac{x^{3}}{3}+C obtemos 0-0=C, logo C=0 e a solução implícita fica y-\tfrac{y^{3}}{3}=\tfrac{x^{3}}{3}.
  • Não existem soluções constantes y(x)=y_{0} válidas para todo x, porque para uma solução constante precisaríamos \frac{d y}{d x}=0 para todo x, o que exigiria x^{2}/(1-y_{0}^{2})=0 para todo x — impossível. Note que y=\pm 1 tornam a fórmula indeterminada, então também não são soluções válidas.

Resposta

y-\dfrac{y^{3}}{3}=\dfrac{x^{3}}{3}+C

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