Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede para resolvê‑la pelo método de separação de variáveis.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona a derivada de
com uma função de e . - O denominador
fica nulo quando ; isso indica pontos singulares onde a equação não está definida. - Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
O método de separação de variáveis funciona quando a EDO pode ser escrita na forma
pois aí podemos “separar” as variáveis
e
e integrar cada lado. Explicando devagar:
- Queremos reunir todos os fatores que dependem de
do lado de e todos os fatores que dependem de do lado de . - Depois integramos ambos os lados: a integral em
em relação a e a integral em em relação a . - Sempre lembrar de adicionar uma constante de integração depois da integração.
No nosso caso a direita é produto de uma função só de
(
) por uma função só de
(no inverso,
), então a separação é possível.
Passo 3
Faço a separação algébrica, multiplicando ambos os lados por
:
Aqui movi o termo em
para o lado esquerdo junto com
e o termo em
para o lado direito junto com
. Isso é permitido sempre que não multiplicarmos por zero — lembre que
não pode ser
na região onde aplicamos a separação (portanto evitamos
).
Passo 4
Integro ambos os lados. Vou mostrar passo a passo as integrais:
- Do lado esquerdo:
Nesse passo usei integrais básicas:
e
.
- Do lado direito:
Após integrar, coloco a constante de integração (uma só é suficiente, pois podemos agrupá‑la num único termo). Obtenho:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
É comum simplificar multiplicando por
para evitar frações:
onde
é outra constante arbitrária. Esta é a forma implícita da solução geral da EDO.
Observações importantes para a prova e para interpretar a solução:
- A expressão é uma relação implícita entre
e . Resolver explicitamente em função de exigiria resolver uma equação cúbica em ,
o que pode ser feito com a fórmula de Cardano, mas é trabalhoso e raramente necessário: nas provas é aceitável deixar a solução em forma implícita como fizemos.
- Sobre domínios: a equação original não está definida quando
. Assim, as soluções particulares que surgem dessa relação implícita não podem cruzar os níveis ; cada solução vale em intervalos onde . - Se for dada uma condição inicial
, basta substituir esses valores na fórmula implícita para determinar . Exemplo rápido: se , substituindo em obtemos , logo e a solução implícita fica . - Não existem soluções constantes
válidas para todo , porque para uma solução constante precisaríamos para todo , o que exigiria para todo — impossível. Note que tornam a fórmula indeterminada, então também não são soluções válidas.