Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
d y / d x=\sin (x) / \sin (y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(x)}{\sin(y)}
pelo método de separação de variáveis. Informação dada: a equação relaciona a derivada dy/dx com funções de x e y separáveis (produto de função só de x com função só de y no denominador). A solução procurada é a família geral de curvas y(x) que satisfazem essa relação (e, se houver, como determinar a constante de integração a partir de uma condição inicial).

Passo 2

Antes de separar, verificar restrições: para dividir por \sin(y) precisamos de \sin(y)\neq 0. Ou seja, a separação direta vale enquanto y não for um múltiplo inteiro de \pi. Vou explicar depois o que ocorre nesses pontos (são pontos onde o lado direito fica indefinido).

Passo 3

Separação de variáveis: a ideia é recolher todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx. Partindo de
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(x)}{\sin(y)}
multiplicando ambos os lados por \sin(y)\,dx obtemos
\sin(y)\,dy=\sin(x)\,dx.
Isto é o passo chave da separação — agora cada lado depende de uma única variável.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou explicar a integral de \sin: a primitiva de \sin(t) em relação a t é -\cos(t), porque a derivada de -\cos(t) é \sin(t). Assim,
\int \sin(y)\,dy = \int \sin(x)\,dx
leva a
-\cos(y) = -\cos(x) + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante, já que subtraímos as integrais de cada lado).

Passo 5

Reescrevendo a expressão de forma mais limpa, multiplico por -1 e coloco a constante convenientemente:
\cos(y)-\cos(x)=C.
Esta é a forma implícita da solução geral. Aqui C é um número real arbitrário que será determinado por uma condição inicial se houver uma.

Passo 6

Se quiser escrever de forma explícita y em função de x, partimos de
\cos(y)=\cos(x)+C.
Resolver \cos(y)=A y = \pm \operatorname{arccos}(A) + 2k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Aplicando isso:
y(x)=\pm \operatorname{arccos}\bigl(\cos(x)+C\bigr)+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
com a restrição natural de que o argumento da função \operatorname{arccos} deve ficar em [-1,1], isto é, \cos(x)+C\in[-1,1] para os x em que se quer solução explícita. Note que a forma implícita \cos(y)-\cos(x)=C é muitas vezes preferível porque evita discussões sobre ramos do arco-cosseno.
Um exemplo simples: se C=0 então \cos(y)=\cos(x), o que implica
y = 2k\pi \pm x,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja, as retas y=x+2k\pi e y=-x+2k\pi são soluções particulares.

Passo 7

Se houver uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, determina-se C substituindo na forma implícita:
C=\cos(y_0)-\cos(x_0).
Depois usa-se esse C em \cos(y)-\cos(x)=C para ter a solução específica.

Passo 8

Observações finais sobre singularidades e soluções constantes:
  • Não existem soluções constantes y(x)\equiv y_c válidas para todo x, porque isso exigiria 0=\sin(x)/\sin(y_c) para todo x, o que é impossível (a menos que considerássemos domínio restrito a pontos isolados). Assim não há solução constante global.
  • Pontos onde \sin(y)=0 (isto é, y=k\pi) tornam a equação original indefinida. Uma solução que atinja tal valor y=k\pi pode ter comportamento singular aí; a forma implícita \cos(y)-\cos(x)=C é útil para estudar se a curva atinge esses valores e em quais pontos de x.

Resposta

\cos(y)-\cos(x)=C,\quad C\in\mathbb{R}.
y(x)=\pm \operatorname{arccos}\bigl(\cos(x)+C\bigr)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\\ \text{com }\cos(x)+C\in[-1,1].

Exercícios relacionados