Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
pelo método de separação de variáveis. Informação dada: a equação relaciona a derivada
com funções de
e
separáveis (produto de função só de
com função só de
no denominador). A solução procurada é a família geral de curvas
que satisfazem essa relação (e, se houver, como determinar a constante de integração a partir de uma condição inicial).
Passo 2
Antes de separar, verificar restrições: para dividir por
precisamos de
. Ou seja, a separação direta vale enquanto
não for um múltiplo inteiro de
. Vou explicar depois o que ocorre nesses pontos (são pontos onde o lado direito fica indefinido).
Passo 3
Separação de variáveis: a ideia é recolher todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
. Partindo de
multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto é o passo chave da separação — agora cada lado depende de uma única variável.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vou explicar a integral de
: a primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
. Assim,
leva a
onde
é a constante de integração (uma única constante, já que subtraímos as integrais de cada lado).
Passo 5
Reescrevendo a expressão de forma mais limpa, multiplico por
e coloco a constante convenientemente:
Esta é a forma implícita da solução geral. Aqui
é um número real arbitrário que será determinado por uma condição inicial se houver uma.
Passo 6
Se quiser escrever de forma explícita
em função de
, partimos de
Resolver
dá
, com
. Aplicando isso:
com a restrição natural de que o argumento da função
deve ficar em
, isto é,
para os
em que se quer solução explícita. Note que a forma implícita
é muitas vezes preferível porque evita discussões sobre ramos do arco-cosseno.
Um exemplo simples: se
então
, o que implica
ou seja, as retas
e
são soluções particulares.
Passo 7
Se houver uma condição inicial do tipo
, determina-se
substituindo na forma implícita:
Depois usa-se esse
em
para ter a solução específica.
Passo 8
Observações finais sobre singularidades e soluções constantes:
- Não existem soluções constantes
válidas para todo , porque isso exigiria para todo , o que é impossível (a menos que considerássemos domínio restrito a pontos isolados). Assim não há solução constante global. - Pontos onde
(isto é, ) tornam a equação original indefinida. Uma solução que atinja tal valor pode ter comportamento singular aí; a forma implícita é útil para estudar se a curva atinge esses valores e em quais pontos de .