Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
y d y / d x=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y\frac{dy}{dx}=x
e pede para resolvê-la pelo método de separação de variáveis.
Informações dadas:
  • A equação relaciona y, sua derivada \dfrac{dy}{dx} e x.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro passo prático do método de separação de variáveis: colocar todos os termos que envolvem y com dy e todos os termos que envolvem x com dx. Começamos isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
Observação importante: aqui dividimos por y, então estamos assumindo temporariamente y\neq0. Vamos tratar a possibilidade y=0 separadamente depois.

Passo 3

Agora separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por dy e por dx de forma adequada (uso formal de diferenciais):
y\,dy = x\,dx.
Explicação didática curta: essa igualdade significa que, para todo x e y(x) em uma solução, os incrementos satisfazem essa relação; isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para integrar, uso as fórmulas básicas:
  • \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C porque a antiderivada de y em relação a y é y^2/2.
  • \displaystyle\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C porque a antiderivada de x em relação a x é x^2/2.
Aplicando:
\int y\,dy = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante basta, porque podemos mover constantes de um lado para o outro).

Passo 5

Multiplicando a igualdade por 2 para simplificar a forma:
y^2 = x^2 + C_1,
onde definiu-se C_1=2C como outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da solução geral. Explicando: C_1 é um número real que determina qual curva da família de soluções estamos escolhendo.

Passo 6

Obter a forma explícita para y: tirando raiz quadrada dos dois lados, obtemos as duas possíveis ramas
y = \pm\sqrt{x^2 + C_1}.
Aqui o sinal + dá uma família de soluções e o sinal - outra; em geral cada solução contínua escolhe um dos sinais em cada intervalo onde a expressão dentro da raiz é não-negativa.

Passo 7

Discussão sobre domínio e casos especiais (isso é importante para a prova):
  • Para que y seja real precisamos de x^2 + C_1 \ge 0. Se C_1\ge 0 então a solução é definida para todo x. Se C_1<0 então a solução só existe em intervalos onde |x|\ge \sqrt{-C_1}.
  • Caso C_1=0 obtemos y^2=x^2, ou seja as retas y=\pm x,que são soluções particulares (duas retas).
  • A função y\equiv 0 (solução constante zero) não é solução da equação original: substituindo y=0 em y\frac{dy}{dx}=x 0=x, o que só seria verdade no ponto x=0 e não em um intervalo. Portanto não existe solução identicamente zero.
  • Sobre existência e unicidade: a forma normal é \dfrac{dy}{dx}=f(x,y)=\dfrac{x}{y}. A função f não é definida em y=0, então o teorema de existência e unicidade padrão não garante comportamento em pontos com y=0. Isso explica por que devemos ter cuidado com condições iniciais que tenham y=0.

Passo 8

Resumo prático (o que levar para a prova):
  • Separe variáveis: mover todas as dependências de y para dy e as de x para dx.
  • Integre ambos os lados, lembre-se de adicionar a constante de integração.
  • Simplifique e, se necessário, resolva explicitamente para y.
  • Verifique domínio e possíveis soluções constantes que poderiam ter sido descartadas ao dividir por y.

Resposta

y^2=x^2+C
y=\pm\sqrt{x^2+C}

Exercícios relacionados