Agora pelo método de separação de variáveis, resolva as seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê-la pelo método de separação de variáveis.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação relaciona
, sua derivada e . - Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro passo prático do método de separação de variáveis: colocar todos os termos que envolvem
com
e todos os termos que envolvem
com
. Começamos isolando
:
Observação importante: aqui dividimos por
, então estamos assumindo temporariamente
. Vamos tratar a possibilidade
separadamente depois.
Passo 3
Agora separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
de forma adequada (uso formal de diferenciais):
Explicação didática curta: essa igualdade significa que, para todo
e
em uma solução, os incrementos satisfazem essa relação; isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Para integrar, uso as fórmulas básicas:
-
porque a antiderivada de em relação a é . -
porque a antiderivada de em relação a é .
Aplicando:
onde
é a constante de integração (uma única constante basta, porque podemos mover constantes de um lado para o outro).
Passo 5
Multiplicando a igualdade por
para simplificar a forma:
onde definiu-se
como outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da solução geral. Explicando:
é um número real que determina qual curva da família de soluções estamos escolhendo.
Passo 6
Obter a forma explícita para
: tirando raiz quadrada dos dois lados, obtemos as duas possíveis ramas
Aqui o sinal
dá uma família de soluções e o sinal
outra; em geral cada solução contínua escolhe um dos sinais em cada intervalo onde a expressão dentro da raiz é não-negativa.
Passo 7
Discussão sobre domínio e casos especiais (isso é importante para a prova):
- Para que
seja real precisamos de . Se então a solução é definida para todo . Se então a solução só existe em intervalos onde . - Caso
obtemos , ou seja as retas que são soluções particulares (duas retas). - A função
(solução constante zero) não é solução da equação original: substituindo em dá , o que só seria verdade no ponto e não em um intervalo. Portanto não existe solução identicamente zero. - Sobre existência e unicidade: a forma normal é
. A função não é definida em , então o teorema de existência e unicidade padrão não garante comportamento em pontos com . Isso explica por que devemos ter cuidado com condições iniciais que tenham .
Passo 8
Resumo prático (o que levar para a prova):
- Separe variáveis: mover todas as dependências de
para e as de para . - Integre ambos os lados, lembre-se de adicionar a constante de integração.
- Simplifique e, se necessário, resolva explicitamente para
. - Verifique domínio e possíveis soluções constantes que poderiam ter sido descartadas ao dividir por
.