Utilizando fator integrante, resolva as seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial para
. A equação dada é
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - O coeficiente de
é . - O termo do lado direito é
. - Não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Colocando a equação de forma clara (padrão que vamos usar):
Existe uma técnica direta para equações nessa forma que transforma o lado esquerdo numa derivada total. Para isso usamos um fator integrante
que satisfaz
onde
é o coeficiente de
na forma
. Aqui
e
. A ideia é que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vira
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Explicação curta: integratei
em relação a
, obtive
, e então exponenciei.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, porque
Portanto podemos escrever
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito combinamos exponenciais:
Então precisamos calcular
Como
, temos
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Agora simplificamos o expoente da primeira parcela:
Portanto a solução fica
onde
é constante arbitrária (determina a solução homogênea).
Passo 7
Cheque rápido (para dar segurança): a parte particular
tem derivada
Então
que coincide com o lado direito. A parte homogênea
satisfaz a equação homogênea
. Então a solução geral está correta.