Utilizando fator integrante, resolva as seguintes EDO:
dy / dt+y / 2=0.5 e^{t / 3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial para y(t). A equação dada é
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}\,y = 0{,}5\,e^{t/3}.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y(t).
  • O coeficiente de y é \tfrac{1}{2}.
  • O termo do lado direito é 0{,}5\,e^{t/3}=\tfrac{1}{2}e^{t/3}.
  • Não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocando a equação de forma clara (padrão que vamos usar):
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}\,y = \frac{1}{2}\,e^{t/3}.
Existe uma técnica direta para equações nessa forma que transforma o lado esquerdo numa derivada total. Para isso usamos um fator integrante \mu(t) que satisfaz
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt},
onde P(t) é o coeficiente de y na forma \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t). Aqui P(t)=\tfrac{1}{2} e Q(t)=\tfrac{1}{2}e^{t/3}. A ideia é que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo vira \dfrac{d}{dt}(\mu(t)y). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=e^{\int \tfrac{1}{2}\,dt}=e^{t/2}.
Explicação curta: integratei P(t)=\tfrac{1}{2} em relação a t, obtive \tfrac{t}{2}, e então exponenciei.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t/2}:
e^{t/2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}e^{t/2}y = \frac{1}{2}e^{t/2}e^{t/3}.
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{t/2}y, porque
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}y\bigr)=e^{t/2}\frac{dy}{dt} + \left(\frac{d}{dt}e^{t/2}\right)y = e^{t/2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}e^{t/2}y.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}y\bigr)=\frac{1}{2}e^{t/2}e^{t/3}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}y\bigr)\,dt = \int \frac{1}{2}e^{t/2}e^{t/3}\,dt.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{t/2}y. No lado direito combinamos exponenciais:
e^{t/2}e^{t/3}=e^{t(1/2+1/3)}=e^{t(5/6)}.
Então precisamos calcular
\int \frac{1}{2}e^{5t/6}\,dt.
Como \displaystyle \int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at}, temos
\int \frac{1}{2}e^{5t/6}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5/6}\,e^{5t/6}+C = \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}\,e^{5t/6}+C = \frac{3}{5}\,e^{5t/6}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
e^{t/2}y = \frac{3}{5}\,e^{5t/6} + C.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^{-t/2}:
y(t) = \frac{3}{5}\,e^{5t/6 - t/2} + C e^{-t/2}.
Agora simplificamos o expoente da primeira parcela:
\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Portanto a solução fica
y(t) = \frac{3}{5}\,e^{t/3} + C e^{-t/2},
onde C é constante arbitrária (determina a solução homogênea).

Passo 7

Cheque rápido (para dar segurança): a parte particular y_p(t)=\tfrac{3}{5}e^{t/3} tem derivada
\frac{dy_p}{dt}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}e^{t/3}=\frac{1}{5}e^{t/3}.
Então
\frac{dy_p}{dt}+\frac{1}{2}y_p=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\right)e^{t/3} =\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\right)e^{t/3}=\frac{1}{2}e^{t/3},
que coincide com o lado direito. A parte homogênea C e^{-t/2} satisfaz a equação homogênea \dfrac{dy}{dt}+\tfrac{1}{2}y=0. Então a solução geral está correta.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{5}\,e^{t/3}+C\,e^{-t/2}

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