Agora sim! Resolva as seguintes integrais por substituição trigonométrica.
integral xraiz3-2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral xraiz3-2x -x^2,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição trigonométrica para expressões da forma raiza^2 - (x+b)^2. Vamos completar o quadrado em 3-2x -x^2.

Passo 2

Complete o quadrado em 3-2x -x^2:
3 -2x -x^2 = -(x^2+2x-3) =4 - (x+1)^2

Passo 3

Faça a substituição
x+1 = 2sintheta,
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,dx = 2costheta,dtheta
e
raiz4-(x+1)^2=2costheta

Passo 4

Reescreva a integral em termos de theta:
integral xraiz3-2x -x^2,dx = integral 2sintheta -12costheta,l(2costheta,dthetar) = integral (2sintheta -1),dtheta

Passo 5

Calcule a integral em theta:
integral (2sintheta -1),dtheta = -2costheta - theta + C

Passo 6

Volte para a variável x. Temos
costheta = raiz4-(x+1)^22 = raiz3-2x -x^22,
theta = arcsin!l(x+12r)
Substituindo,
-2costheta - theta + C = -2cdotraiz3-2x -x^22 - arcsin!l(x+12r) + C

Resposta

boxed,-raiz3-2x -x^2 -arcsin!l(x+12r) + C

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