Agora sim! Resolva as seguintes integrais por substituição trigonométrica.
integral 1raizx^2-a^2 d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 1raizx^2-a^2,dx, a>0
usando substituição trigonométrica. Sempre que aparece raizx^2-a^2, uma escolha padrão é
x = asectheta,
porque assim x^2-a^2=a^2tan^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = asectheta,
temos
dx = asecthetatantheta,dtheta,
e dentro da raiz
raizx^2-a^2 =raiza^2sec^2theta - a^2 =raiza^2tan^2theta = a,|tantheta|
Como tomamos x>a>0, segue sectheta>=1 e tantheta>=0, logo |tantheta|=tantheta.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral 1raizx^2-a^2,dx =integral 1atantheta,l(asecthetatantheta,dthetar) =integral sectheta,dtheta

Passo 4

A integral de sectheta é clássica. Lembramos que
integral sectheta,dtheta =lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 5

Retornando à variável x: de x=asectheta segue sectheta = xa e
tantheta = raizsec^2theta -1 = raizx^2a^2-1 = raizx^2-a^2a
Portanto
lnl|sectheta+tanthetar| =ln!l|xa+raizx^2-a^2ar| =lnl|x+raizx^2-a^2ar|
Como lndotsa=ln(dots)-ln a e -ln a vai para a constante de integração, fica
lnl|x+raizx^2-a^2r|+C

Resposta

integral 1raizx^2-a^2,dx =lnl|x+raizx^2-a^2r|+C

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