Prove pela definição (usando
) que :
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com
, que a sequência
converge para
quando
. O conteúdo aqui é a definição de limite de sequência: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Passo 2
Aplicamos a definição com
. Queremos mostrar que, dado qualquer
, existe
tal que
para todo
n>= N .
Passo 3
Simplificamos a desigualdade e isolamos
n em função de
varepsilon . Temos
isso é equivalente a
Para garantir essa última condição, escolhemos
ou seja,
N é o menor inteiro maior ou igual a
1/raizvarepsilon .
Passo 4
Agora verificamos que essa escolha funciona. Se
n>= N , então
ou seja,
lvert an-0rvert<varepsilon . Isso mostra exatamente que a definição de limite é satisfeita.
Resposta
Logo, por definição de limite de sequência,