Prove pela definição (usando varepsilon ) que :
lim n infty 1n^2=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com varepsilon, que a sequência
an = 1n^2
converge para 0 quando ntoinfty. O conteúdo aqui é a definição de limite de sequência: dizemos que limntoinftyan=L se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que lvert an-Lrvert<varepsilon sempre que n>= N.

Passo 2

Aplicamos a definição com L=0. Queremos mostrar que, dado qualquer varepsilon>0, existe NinN tal que
gllvert 1n^2 - 0grrvert < varepsilon
para todo n>= N.

Passo 3

Simplificamos a desigualdade e isolamos n em função de varepsilon. Temos
gllvert 1n^2grrvert = 1n^2 < varepsilon
isso é equivalente a
1n^2 < varepsilon Long<=ftrightarrow n^2 > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1raizvarepsilon
Para garantir essa última condição, escolhemos
N = llceil 1raizvarepsilonrrceil,
ou seja, N é o menor inteiro maior ou igual a 1/raizvarepsilon.

Passo 4

Agora verificamos que essa escolha funciona. Se n>= N, então
n>= N >= 1raizvarepsilon Longrightarrow n > 1raizvarepsilon Longrightarrow 1n^2 < varepsilon,
ou seja, lvert an-0rvert<varepsilon. Isso mostra exatamente que a definição de limite é satisfeita.

Resposta

Logo, por definição de limite de sequência,
limntoinfty1n^2=0

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