A superfície livre é onde a pressão é constante, p(r, z)=p_{\text {atm }}.
i. Aplique esta condição à sua equação final para p(r, z).
ii. Isole a altura z para encontrar a equação da superfície, z(r).
iii. A equação z(r) que você encontrou descreve que forma geométrica?
(d)
Demonstramos que a superfície parabólica de um vórtice forçado é a forma precisa onde a força do gradiente de pressão fornece a exata força centrípeta necessária para manter cada partícula de fluido em sua trajetória circular, enquanto equilibra a gravidade na vertical.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  1. (i) Aplicar a condição da superfície livre, isto é p(r,z)=p_{\text{atm}}, na expressão já obtida para p(r,z).
  2. (ii) Isolar z para obter a equação da superfície z(r).
  3. (iii) Identificar que forma geométrica a equação z(r) descreve.
Informações relevantes dadas (e que vou usar explicitamente):
  • A superfície livre é o lugar onde a pressão é constante: p(r,z)=p_{\text{atm}}.
  • A equação final já obtida para o campo de pressão do vórtice forçado (rotação em corpo rígido, velocidade tangencial v_\theta=\Omega r) é
p(r,z)=p(0,0)+\tfrac{1}{2}\rho \Omega^{2} r^{2} - \rho g z.
Aqui:
  • \rho é a densidade do fluido (constante).
  • \Omega é a velocidade angular (rad/s) da rotação do fluido (vórtice forçado).
  • g é a aceleração da gravidade (positiva).
  • p(0,0) é a pressão no ponto de referência (r=0,z=0).
    Não vou resolver nada ainda; só registrei o que está dado e o que se pede.

Passo 2

Aplicar a condição da superfície livre: substituir p(r,z)=p_{\text{atm}} na expressão de p(r,z). Isso gera uma equação que relaciona r e z na superfície livre:
p_{\text{atm}} = p(0,0)+\tfrac{1}{2}\rho \Omega^{2} r^{2} - \rho g z.
Explicando cada termo: o termo \tfrac{1}{2}\rho \Omega^{2} r^{2} vem da integração do termo centrífugo \rho \Omega^{2} r (ou seja, da contribuição radial da aceleração centrífuga), e o termo -\rho g z representa a contribuição hidrostática vertical. Agora vou isolar z.

Passo 3

Isole z na equação acima. Reorganizando:
-\rho g z = p_{\text{atm}} - p(0,0) - \tfrac{1}{2}\rho \Omega^{2} r^{2}.
Dividindo ambos os lados por -\rho g (lembrando que \rho>0 e g>0):
z = \frac{p(0,0)-p_{\text{atm}}}{\rho g} + \frac{\Omega^{2}}{2g}\, r^{2}.
Essa é já a forma isolada z(r). Vou interpretar as constantes para ficar mais físico e prático na prova.

Passo 4

Interpretação e simplificação conveniente:
Defina a constante vertical de referência
z(0)\equiv \frac{p(0,0)-p_{\text{atm}}}{\rho g},
que é a altura da superfície livre no eixo r=0 (isto é, o valor de z quando r=0). Substituindo,
z(r)=z(0)+\frac{\Omega^{2}}{2g}\, r^{2}.
Essa forma é útil na prova: se escolhermos a referência tal que z(0)=0 (por exemplo medindo z a partir do nível do líquido no centro), então
z(r)=\frac{\Omega^{2}}{2g}\, r^{2}.

Passo 5

Identificação da forma geométrica:
A expressão obtida é uma função quadrática de r do tipo
z(r)=\text{constante} + a\, r^{2},
com a=\dfrac{\Omega^{2}}{2g}>0. Isso é a equação de uma parábola no plano (r,z). Girando essa parábola em torno do eixo z (pois r é a coordenada radial), a superfície resultante é um paraboloide de revolução. Em palavras simples: a superfície livre forma uma “tigela” em forma parabólica (paraboloide) cujo abaulamento cresce com \Omega^{2}.

Resposta

(i) \;p_{\text{atm}} = p(0,0)+\tfrac{1}{2}\rho \Omega^{2} r^{2} - \rho g z
(ii) \;z(r)=\dfrac{p(0,0)-p_{\text{atm}}}{\rho g} + \dfrac{\Omega^{2}}{2g}\, r^{2} (equivalente a \;z(r)=z(0)+\dfrac{\Omega^{2}}{2g}r^{2})
(iii) Paraboloide de revolução (superfície parabólica).

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