A superfície livre é onde a pressão é constante,
.
i. Aplique esta condição à sua equação final para
.
ii. Isole a altura
para encontrar a equação da superfície,
.
iii. A equação
que você encontrou descreve que forma geométrica?
(d)
Demonstramos que a superfície parabólica de um vórtice forçado é a forma precisa onde a força do gradiente de pressão fornece a exata força centrípeta necessária para manter cada partícula de fluido em sua trajetória circular, enquanto equilibra a gravidade na vertical.
i. Aplique esta condição à sua equação final para
ii. Isole a altura
iii. A equação
(d)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (i) Aplicar a condição da superfície livre, isto é
, na expressão já obtida para . - (ii) Isolar
para obter a equação da superfície . - (iii) Identificar que forma geométrica a equação
descreve.
Informações relevantes dadas (e que vou usar explicitamente):
- A superfície livre é o lugar onde a pressão é constante:
. - A equação final já obtida para o campo de pressão do vórtice forçado (rotação em corpo rígido, velocidade tangencial
) é
Aqui:
-
é a densidade do fluido (constante). -
é a velocidade angular (rad/s) da rotação do fluido (vórtice forçado). -
é a aceleração da gravidade (positiva). -
é a pressão no ponto de referência .
Não vou resolver nada ainda; só registrei o que está dado e o que se pede.
Passo 2
Aplicar a condição da superfície livre: substituir
na expressão de
. Isso gera uma equação que relaciona
e
na superfície livre:
Explicando cada termo: o termo
vem da integração do termo centrífugo
(ou seja, da contribuição radial da aceleração centrífuga), e o termo
representa a contribuição hidrostática vertical. Agora vou isolar
.
Passo 3
Isole
na equação acima. Reorganizando:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
e
):
Essa é já a forma isolada
. Vou interpretar as constantes para ficar mais físico e prático na prova.
Passo 4
Interpretação e simplificação conveniente:
Defina a constante vertical de referência
Defina a constante vertical de referência
que é a altura da superfície livre no eixo
(isto é, o valor de
quando
). Substituindo,
Essa forma é útil na prova: se escolhermos a referência tal que
(por exemplo medindo
a partir do nível do líquido no centro), então
Passo 5
Identificação da forma geométrica:
A expressão obtida é uma função quadrática de do tipo
A expressão obtida é uma função quadrática de
com
. Isso é a equação de uma parábola no plano
. Girando essa parábola em torno do eixo
(pois
é a coordenada radial), a superfície resultante é um paraboloide de revolução. Em palavras simples: a superfície livre forma uma “tigela” em forma parabólica (paraboloide) cujo abaulamento cresce com
.
Resposta
(i)
(ii) (equivalente a
)
(iii) Paraboloide de revolução (superfície parabólica).
(ii)
(iii) Paraboloide de revolução (superfície parabólica).