Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie a seguinte função trigonométrica:
Passo 1
Vamos diferenciar a função trigonométrica $ g(x) = \frac{x+1}{\operatorname{tg}(x)} $. Para isso, vamos usar as propriedades das derivadas, especialmente a regra do quociente, e aplicar as relações trigonométricas necessárias.
Passo 2
Primeiro, identificamos as partes da função que vamos precisar para aplicar a regra do quociente. Podemos escrever $ g(x) $ como:
onde:
- $ f(x) = x + 1 $
- $ h(x) = \operatorname{tg}(x) $
Passo 3
A regra do quociente nos diz que, se temos uma função da forma $ \frac{f(x)}{h(x)} $, a derivada $ g’(x) $ é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula na nossa função.
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de $ f(x) $ e $ h(x) $:
- A derivada de $ f(x) = x + 1 $ é:
- Sabemos que $ \operatorname{tg}(x) $ é a tangente de $ x $, e a derivada da tangente é:
(onde $ \sec(x) $ é a secante de $ x $)
Passo 5
Substituímos $ f’(x) $, $ h(x) $, $ f(x) $ e $ h’(x) $ na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas, mas para manter a resposta clara, deixaremos a derivada nessa forma. Se necessário, você pode explorar mais simplificações usando relações como $ \operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $ e $ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $.
Resposta
A derivada da função $ g(x) $ é: