Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie a seguinte função trigonométrica:
g(x)=x+1tg(x)

Passo 1

Vamos diferenciar a função trigonométrica $ g(x) = \frac{x+1}{\operatorname{tg}(x)} $. Para isso, vamos usar as propriedades das derivadas, especialmente a regra do quociente, e aplicar as relações trigonométricas necessárias.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da função que vamos precisar para aplicar a regra do quociente. Podemos escrever $ g(x) $ como:
g(x)
onde:
- $ f(x) = x + 1 $
- $ h(x) = \operatorname{tg}(x) $

Passo 3

A regra do quociente nos diz que, se temos uma função da forma $ \frac{f(x)}{h(x)} $, a derivada $ g’(x) $ é dada por:
f(x)h(x)
Vamos aplicar essa fórmula na nossa função.

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de $ f(x) $ e $ h(x) $:
  • A derivada de $ f(x) = x + 1 $ é: f(x)
    - Sabemos que $ \operatorname{tg}(x) $ é a tangente de $ x $, e a derivada da tangente é:
    h(x) (onde $ \sec(x) $ é a secante de $ x $)

Passo 5

Substituímos $ f’(x) $, $ h(x) $, $ f(x) $ e $ h’(x) $ na fórmula da regra do quociente:
f'(x)

Passo 6

Podemos simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas, mas para manter a resposta clara, deixaremos a derivada nessa forma. Se necessário, você pode explorar mais simplificações usando relações como $ \operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $ e $ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $.

Resposta

A derivada da função $ g(x) $ é:
g(x)

Exercícios relacionados