Plano: x+y+z=1,(2,1,1)
Minimize d^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2

Passo 1

Resumo do problema: temos o plano x+y+z=1 e o ponto Q=(2,1,1). Queremos achar o ponto (x,y,z) no plano que minimiza a distância ao quadrado d^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2. Vamos usar projeção ortogonal de Q no plano.

Passo 2

Para projetar, identificamos o vetor normal do plano: n=(1,1,1). A forma geral de projeção de Q no plano ncdot x=d é
P = Q - ncdot Q - d|n|^2,n
Aqui d=1 porque o plano é ncdot x=1.

Passo 3

Calculamos os componentes: ncdot Q=1cdot2+1cdot1+1cdot1=4 e
|n|^2=1^2+1^2+1^2=3
Logo o desvio escalar é
de

Passo 4

Aplicando a projeção, o ponto mínimo é
P = (2,1,1) - 1,(1,1,1) = (1,0,0)
Finalmente, o valor mínimo de d^2 é
(2-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2 = 1+1+1 = 3

Resposta

O ponto que minimiza a distância é (1,0,0) e o valor mínimo de d² é 3.

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