Minimize f(x, y)=x^2-8 x+y^2-12 y+48
Restrição : x+y=8

Passo 1

Temos o problema de minimizar a função quadrática f(x,y)=x^2-8x+y^2-12y+48 sujeita à restrição linear x+y=8. O conteúdo é otimização com restrição de igualdade e vamos usar o método de substituição para reduzir a duas variáveis para uma só.

Passo 2

Da restrição x+y=8, isolamos y=8-x e substituímos em f:
f(x)=x^2-8x+(8-x)^2-12(8-x)+48
Expandindo e agrupando termos, obtemos
f(x)=x^2-8x+64-16x+x^2-96+12x+48=2x^2-12x+16

Passo 3

Agora, f(x)=2x^2-12x+16 é uma parábola com coeficiente a=2>0, logo atinge mínimo no vértice dado por xv=-tfracb2a. Aqui b=-12, então
xv=--122cdot2=124=3

Passo 4

Substituindo em y=8-x vem y=8-3=5. Finalmente, calculamos o valor mínimo
f(3,5)=2cdot3^2-12cdot3+16=-2

Resposta

O valor mínimo é -2 e ocorre em (x,y)=(3,5).

Exercícios relacionados