Produção A função de produção de uma empresa é dada por
f(x, y)=100 x^0,25 y^0,75
em que x é o número de unidades de mão de obra e y, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe por unidade e o capital, por unidade e o capital, por unidade. O custo total de mão de obra e capital é limitado a $ 100000.
© Utilize a produtividade marginal do capital para determinar o número máximo de unidades que pode ser produzido se $ 125000 estiverem disponíveis para mão de obra e capital.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção f(x,y)=100,x^0,25y^0,75, onde x é unidades de mão de obra a $48 cada e 48 cada e é unidades de capital a $36 cada. Temos um orçamento de $125000 para gastar em é unidades de capital a e 125000 para gastar em . O objetivo é maximizar a produção sujeita à restrição orçamentária. Vamos usar a ideia de igualar a produtividade marginal por dólar gasto.

Passo 2

A produtividade marginal de cada fator é a derivada parcial de f. Calculamos:
MPx = fx = 100cdot0,25,x^-0,75y^0,75 = 25,x^-0,75y^0,75,
MPy = fy = 100cdot0,75,x^0,25y^-0,25 = 75,x^0,25y^-0,25

Passo 3

A condição de eficiência na alocação do orçamento é igualar a produtividade marginal por dólar:
MPx48 = MPy36
Substituindo MPx e MPy nessa condição temos:
25,x^-0,75y^0,7548 = 75,x^0,25y^-0,2536

Passo 4

Simplificando a expressão obtemos a relação entre x e y:
x^-0,75y^0,75 = 4,x^0,25y^-0,25 Longrightarrow y = 4x

Passo 5

Agora usamos a restrição orçamentária 48x + 36y = 125000 e substituímos y = 4x:
48x + 36,(4x) = 48x + 144x = 192x = 125000
Logo
x = 125000192 approx 651,04, y = 4x approx 2604,17

Passo 6

Por fim, calculamos a produção máxima:
f(x,y) = 100,x^0,25y^0,75 approx 100,(651,04)^0,25(2604,17)^0,75 approx 1,8414times10^5

Resposta

A produção máxima é aproximadamente 1,84times10^5 unidades.

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