Produção A função de produção de uma empresa é dada por
em que
é o número de unidades de mão de obra e
, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe
por unidade e o capital,
por unidade. O custo total de mão de obra e capital é limitado a $ 100000.
© Utilize a produtividade marginal do capital para determinar o número máximo de unidades que pode ser produzido se $ 125000 estiverem disponíveis para mão de obra e capital.
em que
© Utilize a produtividade marginal do capital para determinar o número máximo de unidades que pode ser produzido se $ 125000 estiverem disponíveis para mão de obra e capital.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
, onde
é unidades de mão de obra a $48 cada e
é unidades de capital a $36 cada. Temos um orçamento de $125000 para gastar em
e
. O objetivo é maximizar a produção sujeita à restrição orçamentária. Vamos usar a ideia de igualar a produtividade marginal por dólar gasto.
Passo 2
A produtividade marginal de cada fator é a derivada parcial de
. Calculamos:
Passo 3
A condição de eficiência na alocação do orçamento é igualar a produtividade marginal por dólar:
Substituindo
e
nessa condição temos:
Passo 4
Simplificando a expressão obtemos a relação entre
e
:
Passo 5
Agora usamos a restrição orçamentária
e substituímos
:
Logo
Passo 6
Por fim, calculamos a produção máxima:
Resposta
A produção máxima é aproximadamente
unidades.