Agora use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, C um caminho orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
\vec{F}=y z \vec{i}+2 x z \vec{j}+e^{x y} \vec{k}, C é o círculo x^{2}+y^{2}=16, z=5.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde estão dadas as informações:
  • \vec{F} = y z\,\vec{i} + 2 x z\,\vec{j} + e^{x y}\,\vec{k}.
  • C é o círculo definido por x^{2}+y^{2}=16 e z=5.
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (isto é, quando vista pelo eixo +z).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha fechada acima.

Passo 2

Idea principal (enunciado do teorema que vamos usar) — Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira (borda) seja C, \hat{n} é o versor normal à superfície com a orientação compatível com a orientação de C, e \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}.
Explicando devagar:
  • A integral de linha ao redor de C (o contorno) pode ser trocada por uma integral de superfície do rotacional sobre uma superfície cujo contorno é C.
  • Precisamos escolher uma superfície simples com fronteira C. A escolha óbvia é o disco plano D dado por z=5 e x^{2}+y^{2}\le 16.
  • Depois calculamos \nabla\times\vec{F}, pegamos seu produto escalar com o vetor normal \hat{n} da superfície e integramos sobre o disco.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para um campo \vec{F}=(P,Q,R) vale:
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aqui identificamos P(x,y,z)=y z, Q(x,y,z)=2 x z e R(x,y,z)=e^{x y}.

Passo 4

Calcular cada derivada parcial (vou mostrar passo a passo):
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}e^{x y}=x e^{x y}.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2 x z)=2 x.
    Logo a componente i do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x e^{x y}-2 x = x\bigl(e^{x y}-2\bigr).
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y z)=y.
  • \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y e^{x y}.
    Logo a componente j é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y e^{x y}=y\bigl(1-e^{x y}\bigr).
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2 x z)=2 z.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=z.
    Logo a componente k é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2 z - z = z.

Passo 5

Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=x\bigl(e^{x y}-2\bigr)\,\vec{i}+y\bigl(1-e^{x y}\bigr)\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
Comentário didático curto: o que importa para a integral de superfície é o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}. Se escolhermos a superfície plana z=5, o vetor normal unitário mais natural é na direção \pm\vec{k}; precisamos decidir o sinal conforme a orientação de C.

Passo 6

Determinar a normal \hat{n} compatível com a orientação de C:
  • O enunciado diz que C é percorrido no sentido anti-horário visto de cima. Pela regra da mão direita/ convenção, isso corresponde ao normal apontando para cima, isto é \hat{n}=\vec{k}=(0,0,1).
  • Portanto
(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n} = (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{k} = \text{componente }k = z.

Passo 7

Na superfície escolhida S (o disco z=5, x^{2}+y^{2}\le 16) temos z=5 constante. Logo
(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}=z=5\quad\text{sobre }S.
Assim a integral de superfície fica
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS=\iint_{D} 5\,dS,
onde D é o disco no plano z=5 com raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16\Rightarrow r=4).

Passo 8

Calcular a integral \iint_{D}5\,dS. Como 5 é constante:
\iint_{D}5\,dS = 5\cdot \text{Area}(D).
A área de um disco de raio 4 é \pi\cdot 4^{2}=16\pi. Portanto
\iint_{D}5\,dS = 5\cdot 16\pi = 80\pi.

Resposta

80\pi

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