Agora use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
um caminho orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde estão dadas as informações:
-
-
é o círculo definido por e . - A orientação de
é anti-horária quando vista de cima (isto é, quando vista pelo eixo ).
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha fechada acima.
Passo 2
Idea principal (enunciado do teorema que vamos usar) — Teorema de Stokes:
onde
é qualquer superfície orientada cuja fronteira (borda) seja
,
é o versor normal à superfície com a orientação compatível com a orientação de
, e
é o rotacional (curl) de
.
Explicando devagar:
- A integral de linha ao redor de
(o contorno) pode ser trocada por uma integral de superfície do rotacional sobre uma superfície cujo contorno é . - Precisamos escolher uma superfície simples com fronteira
. A escolha óbvia é o disco plano dado por e . - Depois calculamos
, pegamos seu produto escalar com o vetor normal da superfície e integramos sobre o disco.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional
. Para um campo
vale:
Aqui identificamos
,
e
.
Passo 4
Calcular cada derivada parcial (vou mostrar passo a passo):
-
-
Logo a componentedo rotacional é
-
-
Logo a componenteé
-
-
Logo a componenteé
Passo 5
Portanto o rotacional é
Comentário didático curto: o que importa para a integral de superfície é o produto escalar
. Se escolhermos a superfície plana
, o vetor normal unitário mais natural é na direção
; precisamos decidir o sinal conforme a orientação de
.
Passo 6
Determinar a normal
compatível com a orientação de
:
- O enunciado diz que
é percorrido no sentido anti-horário visto de cima. Pela regra da mão direita/ convenção, isso corresponde ao normal apontando para cima, isto é . - Portanto
Passo 7
Na superfície escolhida
(o disco
,
) temos
constante. Logo
Assim a integral de superfície fica
onde
é o disco no plano
com raio
(pois
).
Passo 8
Calcular a integral
. Como
é constante:
A área de um disco de raio
é
. Portanto