Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Vou listar claramente o que é solicitado:
- As derivadas parciais de primeira ordem:
, , . - As derivadas parciais de segunda ordem (incluindo as mistas):
, , , , , .
Observação importante sobre domínio: a função só está definida para, logo todas as derivadas valem para pontos com .
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar como pensar nisso de forma concreta e simples.
- A derivada parcial de
em relação a em um ponto é a taxa de variação de quando só a coordenada varia e ficam fixos. Em definição de limite:
- O mesmo raciocínio vale para as derivadas em relação a
e : ao derivar por tratamos como constantes; ao derivar por tratamos como constantes.
Uma técnica prática: reescrever a função de forma que fique claro o que depende da variável que estou diferenciando. Aqui é conveniente escrever
Assim fica fácil aplicar a regra do produto/potência tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Derivadas parciais de primeira ordem — cálculo e explicação passo a passo.
- Derivada em relação a
.
Trato
e
como constantes. A parte que depende de
é
; a outra parcela
é constante em relação a
e deriva para
. Aplicando a regra do poder (derivada de
é
):
- Derivada em relação a
.
Análogo ao caso anterior: trato
e
como constantes. A parcela
produz
e a parcela com
é constante. Logo:
- Derivada em relação a
.
Aqui
e
são considerados constantes. Uso que
tem derivada
. Como
e
é constante para esta derivação, pelo produto temos:
Passo 4
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Lembre que ao calcular uma derivada de segunda ordem do tipo
faz-se primeiro a derivada em relação a
(por exemplo) e depois em relação a
— ou vice‑versa. Vou calcular cada uma diretamente a partir das fórmulas das derivadas de primeira ordem que já obtivemos.
-
.
Derivo
em relação a
, tratando
como constante. Derivada de
é
, então:
-
.
Derivo
em relação a
. De forma análoga:
-
.
Derivo
em relação a
, com
constantes. Uso a regra do poder: derivada de
é
. Assim:
Passo 5
Derivadas mistas (segunda ordem com variáveis diferentes). Vou calcular as três relevantes e mostrar simetria.
-
.
Derivo
em relação a
. Aqui
e
são tratados como constantes, então
é constante em relação a
e sua derivada é
:
Por simetria (e pelo teorema de Clairaut, já que
é suficientemente suave para
), também vale
.
-
.
Derivo
em relação a
. Agora
é constante e aplico derivada de
: obtenho
Novamente pela igualdade das mistas, tem-se
.
-
.
Derivo
em relação a
. Analogamente:
E
.
Passo 6
Resumo e comentário final: todas as derivadas foram obtidas tratando-se as variáveis não diferenciadas como constantes e aplicando as regras básicas de derivação (potência e produto simples). A função é suave (infinitamente diferenciável) para
, então as derivadas mistas são iguais nas ordens trocadas, conforme verificado nos cálculos.