Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
f(x, y, z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{z};

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{z},
e pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Vou listar claramente o que é solicitado:
  • As derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • As derivadas parciais de segunda ordem (incluindo as mistas): \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
    Observação importante sobre domínio: a função só está definida para z\neq 0, logo todas as derivadas valem para pontos com z\neq 0.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar como pensar nisso de forma concreta e simples.
  • A derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y,z) é a taxa de variação de f quando só a coordenada x varia e y,z ficam fixos. Em definição de limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
  • O mesmo raciocínio vale para as derivadas em relação a y e z: ao derivar por y tratamos x,z como constantes; ao derivar por z tratamos x,y como constantes.
Uma técnica prática: reescrever a função de forma que fique claro o que depende da variável que estou diferenciando. Aqui é conveniente escrever
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})\,z^{-1}.
Assim fica fácil aplicar a regra do produto/potência tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Derivadas parciais de primeira ordem — cálculo e explicação passo a passo.
  1. Derivada em relação a x.
Trato y e z como constantes. A parte que depende de x é x^{2}z^{-1}; a outra parcela y^{2}z^{-1} é constante em relação a x e deriva para 0. Aplicando a regra do poder (derivada de x^{2} é 2x):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\frac{2x}{z}.
  1. Derivada em relação a y.
Análogo ao caso anterior: trato x e z como constantes. A parcela y^{2}z^{-1} produz 2y\cdot z^{-1} e a parcela com x^{2} é constante. Logo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{2y}{z}.
  1. Derivada em relação a z.
Aqui x e y são considerados constantes. Uso que z^{-1} tem derivada -1\cdot z^{-2}. Como f=(x^{2}+y^{2})z^{-1} e (x^{2}+y^{2}) é constante para esta derivação, pelo produto temos:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})\cdot(-1)z^{-2}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}.

Passo 4

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Lembre que ao calcular uma derivada de segunda ordem do tipo \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} faz-se primeiro a derivada em relação a y (por exemplo) e depois em relação a x — ou vice‑versa. Vou calcular cada uma diretamente a partir das fórmulas das derivadas de primeira ordem que já obtivemos.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{z} em relação a x, tratando z como constante. Derivada de 2x é 2, então:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y,z)=\frac{2}{z}.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{z} em relação a y. De forma análoga:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y,z)=\frac{2}{z}.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial z}=-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}} em relação a z, com x,y constantes. Uso a regra do poder: derivada de z^{-2} é -2 z^{-3}. Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x,y,z)=-(x^{2}+y^{2})\cdot(-2)z^{-3}=\frac{2(x^{2}+y^{2})}{z^{3}}.

Passo 5

Derivadas mistas (segunda ordem com variáveis diferentes). Vou calcular as três relevantes e mostrar simetria.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{z} em relação a y. Aqui x e z são tratados como constantes, então \dfrac{2x}{z} é constante em relação a y e sua derivada é 0:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y,z)=0.
Por simetria (e pelo teorema de Clairaut, já que f é suficientemente suave para z\neq0), também vale \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=0.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{z} em relação a z. Agora x é constante e aplico derivada de z^{-1}: obtenho
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}(x,y,z)=2x\cdot(-1)z^{-2}=-\frac{2x}{z^{2}}.
Novamente pela igualdade das mistas, tem-se \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}=-\dfrac{2x}{z^{2}}.
  1. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{z} em relação a z. Analogamente:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}(x,y,z)=2y\cdot(-1)z^{-2}=-\frac{2y}{z^{2}}.
E \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}=-\dfrac{2y}{z^{2}}.

Passo 6

Resumo e comentário final: todas as derivadas foram obtidas tratando-se as variáveis não diferenciadas como constantes e aplicando as regras básicas de derivação (potência e produto simples). A função é suave (infinitamente diferenciável) para z\neq 0, então as derivadas mistas são iguais nas ordens trocadas, conforme verificado nos cálculos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{z}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{z}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{2}{z}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}=-\frac{2x}{z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{2}{z}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}=-\frac{2y}{z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})}{z^{3}}

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