Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
As quantidades que vamos entregar são, explicitamente:
- derivadas de primeira ordem:
e ; - derivadas de segunda ordem:
, e .
Nada mais foi dado além da função acima.
Passo 2
Relembrando regras básicas (aula rápida, sem pânico):
- Derivada parcial em relação a
: trata-se de derivar a função em mantendo como constante. - Derivada parcial em relação a
: deriva-se em mantendo constante. - Regras que usaremos:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia para
: se , então . - Derivada de
: (pois é constante quando derivamos em ), e .
- Regra do produto: se
- Exemplo curto para fixar:
— a cadeia simples.
Passo 3
Calcular
.
Temos
. Ao derivar em
,
é constante, então aplicamos a regra da cadeia só na parte
:
Como
, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Agora
é a variável e
é constante. Usamos a regra do produto para
:
Calculando cada peça:
. E pela cadeia,
.
Portanto
Portanto
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 5
Calcular
.
Partimos de
. Diferenciamos essa expressão em
(com
constante). Usamos a regra do quociente: para
,
.
Aqui e
. Então
e
. Assim
Aqui
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 6
Calcular
(isto é,
).
Tomamos
e derivamos em
. Tratar
como constante. Usamos novamente a regra do quociente para a função
multiplicada por
(constante multiplicativa):
Para
:
.
Multiplicando por obtemos
Multiplicando por
Passo 7
Verificação e simetria: calcular
a partir de
para checar igualdade.
Começando de
e derivando em
:
- A derivada de
em (com constante) é . - A derivada de
em é .
Somando com denominador comum:
Portanto
, como esperado.
Passo 8
Calcular
.
Partimos de
. Derivamos em
(com
constante).
- Derivada de
:
- Pela regra do produto:
- Derivada de
:
- Usando quociente: com
, ; , .
Somando as duas parcelas:
Podemos juntar termos racionais com denominador comum
. Convertendo
e somando ao último termo obtemos numerador
. Assim uma forma compacta é