Calcule as deriviadas parciais de primeira e de segunda ordem de:
f(x, y)=y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=y^{2}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
As quantidades que vamos entregar são, explicitamente:
  • derivadas de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y};
  • derivadas de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
    Nada mais foi dado além da função acima.

Passo 2

Relembrando regras básicas (aula rápida, sem pânico):
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se de derivar a função em x mantendo y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: deriva-se em y mantendo x constante.
  • Regras que usaremos:
    • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, \dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}v+u\dfrac{\partial v}{\partial x}.
    • Regra da cadeia para \ln: se s(x,y)=x^{2}+y^{2}, então \dfrac{\partial}{\partial x}\ln s=\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial s}{\partial x}.
    • Derivada de x^{2}+y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (pois y é constante quando derivamos em x), e \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
  • Exemplo curto para fixar: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+1)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} — a cadeia simples.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Temos f(x,y)=y^{2}\cdot \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right). Ao derivar em x, y^{2} é constante, então aplicamos a regra da cadeia só na parte \ln(\cdot):
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) = y^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} = \frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora y é a variável e x é constante. Usamos a regra do produto para y^{2}\cdot\ln(x^{2}+y^{2}):
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})\cdot \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) + y^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
Calculando cada peça: \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y. E pela cadeia,
\dfrac{\partial}{\partial y}\ln(x^{2}+y^{2})=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) + y^{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} = 2y\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) + \frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Podemos fatorar 2y se quisermos:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\left[\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right].

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Diferenciamos essa expressão em x (com y constante). Usamos a regra do quociente: para G(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}, G'=(N' D - N D')/D^{2}.
Aqui N(x)=2x y^{2} e D(x)=x^{2}+y^{2}. Então N'(x)=2y^{2} e D'(x)=2x. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{2y^{2}(x^{2}+y^{2}) - (2x y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2y^{2}(x^{2}+y^{2}) - 4x^{2}y^{2} = 2y^{2}(x^{2}+y^{2}-2x^{2}) = 2y^{2}(y^{2}-x^{2}).
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{2y^{2}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (isto é, \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\big)).
Tomamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}} e derivamos em y. Tratar x como constante. Usamos novamente a regra do quociente para a função y\mapsto \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} multiplicada por 2x (constante multiplicativa):
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) = 2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right).
Para h(y)=\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}: h'=(2y(x^{2}+y^{2}) - y^{2}\cdot 2y)/(x^{2}+y^{2})^{2} = \dfrac{2y x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Multiplicando por 2x obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = 2x\cdot \frac{2y x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{4x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 7

Verificação e simetria: calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} a partir de \dfrac{\partial f}{\partial y} para checar igualdade.
Começando de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\ln(x^{2}+y^{2})+\dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}} e derivando em x:
  • A derivada de 2y\ln(x^{2}+y^{2}) em x (com y constante) é 2y\cdot \dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{4xy}{x^{2}+y^{2}}.
  • A derivada de \dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}} em x é -\dfrac{2y^{3}\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=-\dfrac{4x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    Somando com denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2}:
\frac{4xy(x^{2}+y^{2}) - 4x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{4x y (x^{2}+y^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{4x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, como esperado.

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\ln(x^{2}+y^{2})+\dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}. Derivamos em y (com x constante).
  1. Derivada de 2y\ln(x^{2}+y^{2}):
  • Pela regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial y}(2y)\cdot\ln(\cdot)+2y\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}\ln(\cdot) = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + 2y\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + \frac{4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  1. Derivada de \dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}:
  • Usando quociente: com N(y)=2y^{3}, N'=6y^{2}; D=y^{2}+x^{2}, D'=2y.
\frac{N' D - N D'}{D^{2}} = \frac{6y^{2}(x^{2}+y^{2}) - 2y^{3}\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2} + 6y^{4} - 4y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2} + 2y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Somando as duas parcelas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + \frac{4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{6x^{2}y^{2} + 2y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Podemos juntar termos racionais com denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2}. Convertendo \dfrac{4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{4y^{2}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\dfrac{4x^{2}y^{2}+4y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} e somando ao último termo obtemos numerador 10x^{2}y^{2}+6y^{4}=2y^{2}(5x^{2}+3y^{2}). Assim uma forma compacta é
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + \frac{2y^{2}\bigl(5x^{2}+3y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{2y^{2}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{4x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{2y^{2}\bigl(5x^{2}+3y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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