Prove que
e constante no ponto
.
dado
, tenho que mostrar que
, tal que
implica que
.
. Faca
e
, então:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede-se provar a propriedade seguinte: dado
, existe
tal que
implica
Também temos o valor ponto
. A meta é, portanto, construir um
em função de
que garanta a desigualdade acima.
Passo 2
Vou traduzir a condição pedida na forma mais usual (que é a definição
-
de continuidade): substituir
por escrever a condição como
Mostrar isso para todo
é exatamente provar que
é contínua em
. A estratégia é calcular
em termos de
e escolher
em função de
.
Passo 3
Calculemos a diferença entre valores de
:
Usando propriedade da valor absoluto (constante multiplicativa),
Portanto
é exatamente
.
Passo 4
Agora escolhemos
para controlar
. Seja
Note que
porque
. Se
satisfaz
, então
Da desigualdade
obtemos exatamente
ou seja,
Passo 5
Concluímos que, para qualquer
, a escolha
satisfaz a condição pedida: sempre que
(isto é,
) teremos
. Isso prova que
é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
. Tomando
obtém-se
, logo
.