Prove que f(x)=2 x+1 e constante no ponto p=1. f(1)=2^{*} 1+1=3 dado \varepsilon>0, tenho que mostrar que \exists \sigma>0, tal que p-\sigma<x<p+\sigma implica que f(p)-\varepsilon<f(x)< f(p)+\varepsilon.
f(1)-\varepsilon<f(x)<f(1)+\varepsilon. Faca p=1 e f(x)=2 x+1, então:

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x+1 e o ponto p=1. Pede-se provar a propriedade seguinte: dado \varepsilon>0, existe \sigma>0 tal que
p-\sigma<x<p+\sigma
implica
f(p)-\varepsilon<f(x)<f(p)+\varepsilon.
Também temos o valor ponto f(1)=2\cdot1+1=3. A meta é, portanto, construir um \sigma em função de \varepsilon que garanta a desigualdade acima.

Passo 2

Vou traduzir a condição pedida na forma mais usual (que é a definição \varepsilon- \delta de continuidade): substituir p=1 por escrever a condição como
|x-1|<\sigma\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(1)|<\varepsilon.
Mostrar isso para todo \varepsilon>0 é exatamente provar que f é contínua em 1. A estratégia é calcular |f(x)-f(1)| em termos de |x-1| e escolher \sigma em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença entre valores de f:
|f(x)-f(1)| = |(2x+1)-3| = |2x-2| = |2(x-1)| .
Usando propriedade da valor absoluto (constante multiplicativa),
|2(x-1)| = 2|x-1|.
Portanto |f(x)-f(1)| é exatamente 2|x-1|.

Passo 4

Agora escolhemos \sigma para controlar 2|x-1|. Seja
\sigma=\frac{\varepsilon}{2}.
Note que \sigma>0 porque \varepsilon>0. Se x satisfaz |x-1|<\sigma, então
|f(x)-f(1)| = 2|x-1| < 2\sigma = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Da desigualdade |f(x)-f(1)|<\varepsilon obtemos exatamente
f(1)-\varepsilon < f(x) < f(1)+\varepsilon,
ou seja,
3-\varepsilon < f(x) < 3+\varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, para qualquer \varepsilon>0, a escolha \sigma=\varepsilon/2 satisfaz a condição pedida: sempre que p-\sigma<x<p+\sigma (isto é, |x-1|<\sigma) teremos f(1)-\varepsilon<f(x)<f(1)+\varepsilon. Isso prova que f é contínua no ponto p=1.

Resposta

A função f(x)=2x+1 é contínua no ponto p=1. Tomando \sigma=\dfrac{\varepsilon}{2} obtém-se |f(x)-f(1)|=2|x-1|<\varepsilon, logo f(1)-\varepsilon<f(x)<f(1)+\varepsilon.

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