Agora vamos utilizar o exemplo do Exercício 4 em movimento harmônico, no qual o átomo de H oscila aproximando-se e afastando-se do átomo de I. Sendo a constante de força de ligação igual a
. a) Calcule a frequência de vibração da molécula. b) o comprimento de onda necessário para excitar a molécula a vibração.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a molécula diatômica formada por H e I, cuja constante de força da ligação vale
:
a) Calcular a frequência de vibração da molécula.
b) Calcular o comprimento de onda da radiação necessário para excitar a vibração (ou seja, o comprimento de onda do fóton cuja energia corresponde à vibração).
b) Calcular o comprimento de onda da radiação necessário para excitar a vibração (ou seja, o comprimento de onda do fóton cuja energia corresponde à vibração).
Informações fornecidas e escolhas que vou usar (sem resolver ainda):
- Constante de força:
. - Átomos: hidrogênio (H) e iodo (I). Para obter a frequência precisamos das massas dos átomos em quilogramas; vou usar as massas atômicas em unidades de massa atômica (
) e converter para quilograma usando . - Pergunta (b) exige relacionar a frequência com o comprimento de onda da radiação eletromagnética capaz de excitar a vibração (via
e , logo ).
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
- Uma molécula diatômica vibrando em pequena amplitude se comporta como duas massas ligadas por uma mola linear (oscilador harmônico). Para reduzir o problema a um oscilador simples usamos a massa reduzida
, definida por
onde
e
são as massas dos dois átomos (H e I) em quilograma. A razão é que a dinâmica relativa das duas partículas é equivalente à de uma partícula única com massa
sujeita à mesma constante elástica
.
- A frequência natural (frequência linear) da vibração é dada por
Aqui
é a frequência em hertz (
),
em
e
em
. Vou usar essa fórmula para (a).
- Para (b) a energia do fóton necessário para excitar a vibração fundamental é
. Como , obtemos a relação direta
onde
é a velocidade da luz no vácuo.
Passo 3
Converter massas atômicas para quilograma (explicando cada passo):
- Vou usar massas atômicas aproximadas (valores padrão):
e . - Conversão para quilograma usando
. Então
Comentário amistoso: o iodo é muito mais pesado que o hidrogênio, por isso a massa reduzida ficará próxima da massa do hidrogênio, mas vamos calcular exatamente.
Passo 4
Calcular a massa reduzida
passo a passo:
- Primeiro o produto
:
- Depois a soma
:
- Agora a massa reduzida:
Observação educativa: veja que
ficou muito próxima de
, que é praticamente
. Isso acontece porque
, então
com pequena correção.
Passo 5
Calcular a frequência
usando a fórmula
:
- Primeiro calcule o quociente
:
- Agora a raiz quadrada:
- Finalmente a frequência:
Explicação prática:
é da ordem de
, ou seja, vibrações na região do infravermelho.
Passo 6
Calcular o comprimento de onda
correspondente (usando
):
- Use a velocidade da luz
. Então
- Em unidades mais intuitivas isso é
ou seja, um comprimento de onda no infravermelho médio. Comentário de incentivo: é um resultado típico — vibrações moleculares costumam precisar de fótons infravermelhos para excitação.
Resposta
a)
b)
b)