Agora vamos utilizar o exemplo do Exercício 4 em movimento harmônico, no qual o átomo de H oscila aproximando-se e afastando-se do átomo de I. Sendo a constante de força de ligação igual a 314 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. a) Calcule a frequência de vibração da molécula. b) o comprimento de onda necessário para excitar a molécula a vibração.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a molécula diatômica formada por H e I, cuja constante de força da ligação vale \,314\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}\,:
a) Calcular a frequência de vibração da molécula.
b) Calcular o comprimento de onda da radiação necessário para excitar a vibração (ou seja, o comprimento de onda do fóton cuja energia corresponde à vibração).
Informações fornecidas e escolhas que vou usar (sem resolver ainda):
  • Constante de força: \,k = 314\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • Átomos: hidrogênio (H) e iodo (I). Para obter a frequência precisamos das massas dos átomos em quilogramas; vou usar as massas atômicas em unidades de massa atômica ( \,\mathrm{u}\,) e converter para quilograma usando \,1\\ \mathrm{u} = 1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Pergunta (b) exige relacionar a frequência com o comprimento de onda da radiação eletromagnética capaz de excitar a vibração (via E=h\nu e E=hc/\lambda, logo \lambda=c/\nu).

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
  • Uma molécula diatômica vibrando em pequena amplitude se comporta como duas massas ligadas por uma mola linear (oscilador harmônico). Para reduzir o problema a um oscilador simples usamos a massa reduzida \mu, definida por
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}},
onde m_{1} e m_{2} são as massas dos dois átomos (H e I) em quilograma. A razão é que a dinâmica relativa das duas partículas é equivalente à de uma partícula única com massa \mu sujeita à mesma constante elástica k.
  • A frequência natural (frequência linear) da vibração é dada por
\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
Aqui \nu é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}), k em \mathrm{N}/\mathrm{m} e \mu em \mathrm{kg}. Vou usar essa fórmula para (a).
  • Para (b) a energia do fóton necessário para excitar a vibração fundamental é E=h\nu. Como E=hc/\lambda, obtemos a relação direta
\lambda=\frac{c}{\nu},
onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 3

Converter massas atômicas para quilograma (explicando cada passo):
  • Vou usar massas atômicas aproximadas (valores padrão): \,m_{\mathrm{H}} \approx 1,00784\\ \mathrm{u} e \,m_{\mathrm{I}} \approx 126,90447\\ \mathrm{u}.
  • Conversão para quilograma usando \,1\\ \mathrm{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. Então
m_{\mathrm{H}} = 1,00784\times1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx 1,6735\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{I}} = 126,90447\times1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx 2,1073\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
Comentário amistoso: o iodo é muito mais pesado que o hidrogênio, por isso a massa reduzida ficará próxima da massa do hidrogênio, mas vamos calcular exatamente.

Passo 4

Calcular a massa reduzida \mu passo a passo:
  • Primeiro o produto m_{\mathrm{H}}m_{\mathrm{I}}:
m_{\mathrm{H}}m_{\mathrm{I}}\approx (1,6735\times10^{-27})\times(2,1073\times10^{-25})=3,526\times10^{-52}\\ \mathrm{kg}^{2}.
  • Depois a soma m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{I}}:
m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{I}}\approx 1,6735\times10^{-27}+2,1073\times10^{-25}=2,1237\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
  • Agora a massa reduzida:
\mu=\frac{3,526\times10^{-52}}{2,1237\times10^{-25}}\\ \mathrm{kg}\approx 1,6606\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Observação educativa: veja que \mu ficou muito próxima de 1,6605\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, que é praticamente 1\\ \mathrm{u}. Isso acontece porque m_{\mathrm{I}}\gg m_{\mathrm{H}}, então \mu\approx m_{\mathrm{H}} com pequena correção.

Passo 5

Calcular a frequência \nu usando a fórmula \nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}}:
  • Primeiro calcule o quociente k/\mu:
\frac{k}{\mu}=\frac{314}{1,6606\times10^{-27}}\\ \mathrm{s}^{-2}\approx 1,891\times10^{29}\\ \mathrm{s}^{-2}.
  • Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{k}{\mu}}\approx \sqrt{1,891\times10^{29}}\\ \mathrm{s}^{-1}\approx 4,348\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Finalmente a frequência:
\nu=\frac{1}{2\pi}\times 4,348\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1}\approx 6,92\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
Explicação prática: \nu é da ordem de 10^{13}\\ \mathrm{Hz}, ou seja, vibrações na região do infravermelho.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda \lambda correspondente (usando \lambda=c/\nu):
  • Use a velocidade da luz c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{2,99792458\times10^{8}}{6,92\times10^{13}}\\ \mathrm{m}\approx 4,33\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais intuitivas isso é
\lambda\approx 4,33\\ \mu\mathrm{m},
ou seja, um comprimento de onda no infravermelho médio. Comentário de incentivo: é um resultado típico — vibrações moleculares costumam precisar de fótons infravermelhos para excitação.

Resposta

a) \nu\approx 6,92\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}
b) \lambda\approx 4,33\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=4,33\\ \mu\mathrm{m}

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