Mostre explicitamente, para um oscilador harmônico, que
é ortogonal a
, e que
é ortogonal a
e
.
The first few harmonic-oscillator wave functions, Equation 5.35. The parameter
.
Passo 1
O enunciado dá as quatro primeiras funções de onda do oscilador harmônico e pede para mostrar explicitamente que certas pares são ortogonais. Vou listar o que nos foi dado e o que precisamos provar.
Dadas as funções (usei exatamente as expressões do enunciado):
com
.
O que pediram que eu prove explicitamente:
-
é ortogonal a e . -
é ortogonal a e .
No nosso contexto, “mostrar ortogonalidade” significa mostrar que o produto interno
é igual a zero para cada par pedido.
Passo 2
Primeiro, uma observação muito útil (e simples) que vamos usar: paridade das funções. Uma função é par se
e ímpar se
. O produto de uma função par com uma ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre
é zero (porque as contribuições simétricas se cancelam).
Olhemos a paridade de cada
:
- O fator exponencial
é par. -
tem só esse fator multiplicado por constante → é par. -
tem um fator multiplicando o gaussiano → é ímpar, logo é ímpar. -
envolve , que é par, multiplicado pelo gaussiano → é par. -
envolve , que é ímpar, multiplicado pelo gaussiano → é ímpar.
Assim, qualquer produto par×ímpar será uma função ímpar e tem integral zero. Isso resolve vários casos rapidamente (eu vou explicitar quais abaixo). Para os casos par×par e ímpar×ímpar (produto é par) temos que calcular explicitamente a integral, usando integrais gaussianas bem conhecidas.
Passo 3
Mostrando
por paridade.
Motivo: integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
Passo 4
Preciso das integrais gaussianas básicas para os casos em que o integrando é par (quando o produto é par, não podemos usar só paridade). A fórmula geral para momentos pares é (fórmula padrão que pode ser obtida por mudança de variável e função Gamma):
Aqui
é o produto dos inteiros ímpares até
(por exemplo
, etc.).
Aplicando essa fórmula aos casos que precisamos:
- Para
(ou seja ):
- Para
( ):
- Para
( ):
Vou usar esses resultados explicitamente nas integrais que faltam.
Passo 5
Mostrando
por cálculo explícito.
Escrevo o produto e o integral:
Juntando fatores exponenciais
e constants:
Chamo de
o produto das constantes (não preciso do valor numérico para ver que a integral interna é zero, mas é fácil de avaliar se quiser):
Usando
e
do passo anterior:
Portanto
.
Interpretação física/matemática rápida: os coeficientes do polinômio foram escolhidos (são os primeiros polinômios de Hermite apropriados) de modo que a combinação com o peso gaussiano torne a integral nula.
Passo 6
Mostrando
por paridade.
Passo 7
Mostrando
por paridade.
Passo 8
Mostrando
por cálculo explícito (produto de ímpares → integrando dá função par; preciso avaliar).
Escrevo o produto:
Juntando exponenciais e constantes:
onde
é o produto das constantes de normalização.
Agora uso
e
do passo 4:
Calculo termo a termo:
Portanto
. Logo
.
Passo 9
Resumo e comentário final (motivador): mostramos todos os cinco produtos pedidos serem zero. Paridade simplificou três casos; nos dois casos restantes usamos integrais gaussianas e vimos que os polinômios multiplicadores foram justamente escolhidos para anular as combinações, o que é a essência da ortogonalidade das funções de Hermite com peso gaussiano. Manda ver na prova que é exatamente esse raciocínio que vale — paridade quando possível, integral gaussiana quando necessário. Você tá indo bem!