Mostre explicitamente, para um oscilador harmônico, que \psi 0(x) é ortogonal a \psi 1(x), \psi 2(x) \mathrm{e} \psi 3(x), e que \psi 1(x) é ortogonal a \psi 2(x) e \psi 3(x).
The first few harmonic-oscillator wave functions, Equation 5.35. The parameter \alpha=(k \mu)^{1 / 2} / \hbar.
\begin{array}{ll} \psi_{0}(x)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1 / 4} e^{-\alpha x^{2} / 2} & \psi_{2}(x)=\left(\frac{\alpha}{4 \pi}\right)^{1 / 4}\left(2 \alpha x^{2}-1\right) e^{-\alpha x^{2} / 2} \\\ \psi_{1}(x)=\left(\frac{4 \alpha^{3}}{\pi}\right)^{1 / 4} x e^{-\alpha x^{2} / 2} & \psi_{3}(x)=\left(\frac{\alpha^{3}}{9 \pi}\right)^{1 / 4}\left(2 \alpha x^{3}-3 x\right) e^{-\alpha x^{2} / 2} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá as quatro primeiras funções de onda do oscilador harmônico e pede para mostrar explicitamente que certas pares são ortogonais. Vou listar o que nos foi dado e o que precisamos provar.
Dadas as funções (usei exatamente as expressões do enunciado):
\psi_{0}(x)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\alpha x^{2}/2},
\psi_{1}(x)=\left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{1/4} x\, e^{-\alpha x^{2}/2},
\psi_{2}(x)=\left(\frac{\alpha}{4\pi}\right)^{1/4}\left(2\alpha x^{2}-1\right) e^{-\alpha x^{2}/2},
\psi_{3}(x)=\left(\frac{\alpha^{3}}{9\pi}\right)^{1/4}\left(2\alpha x^{3}-3x\right) e^{-\alpha x^{2}/2},
com \alpha=(k\mu)^{1/2}/\hbar.
O que pediram que eu prove explicitamente:
  • \psi_{0} é ortogonal a \psi_{1},\\ \psi_{2} e \psi_{3}.
  • \psi_{1} é ortogonal a \psi_{2} e \psi_{3}.
No nosso contexto, “mostrar ortogonalidade” significa mostrar que o produto interno
\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)\,\psi_m(x)\,dx
é igual a zero para cada par pedido.

Passo 2

Primeiro, uma observação muito útil (e simples) que vamos usar: paridade das funções. Uma função é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x). O produto de uma função par com uma ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre (-\infty,\infty) é zero (porque as contribuições simétricas se cancelam).
Olhemos a paridade de cada \psi_n:
  • O fator exponencial e^{-\alpha x^{2}/2} é par.
  • \psi_{0} tem só esse fator multiplicado por constante → \psi_{0} é par.
  • \psi_{1} tem um fator x multiplicando o gaussiano → x é ímpar, logo \psi_{1} é ímpar.
  • \psi_{2} envolve 2\alpha x^{2}-1, que é par, multiplicado pelo gaussiano → \psi_{2} é par.
  • \psi_{3} envolve 2\alpha x^{3}-3x, que é ímpar, multiplicado pelo gaussiano → \psi_{3} é ímpar.
Assim, qualquer produto par×ímpar será uma função ímpar e tem integral zero. Isso resolve vários casos rapidamente (eu vou explicitar quais abaixo). Para os casos par×par e ímpar×ímpar (produto é par) temos que calcular explicitamente a integral, usando integrais gaussianas bem conhecidas.

Passo 3

Mostrando \langle\psi_{0}|\psi_{1}\rangle=0 por paridade.
\psi_{0} é par e \psi_{1} é ímpar, portanto o produto \psi_{0}(x)\psi_{1}(x) é ímpar. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{0}(x)\psi_{1}(x)\,dx = 0.
Motivo: integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.

Passo 4

Preciso das integrais gaussianas básicas para os casos em que o integrando é par (quando o produto é par, não podemos usar só paridade). A fórmula geral para momentos pares é (fórmula padrão que pode ser obtida por mudança de variável e função Gamma):
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\;\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{\,n+\tfrac{1}{2}}},\qquad n=0,1,2,\dots
Aqui (2n-1)!! é o produto dos inteiros ímpares até 2n-1 (por exemplo (1)!!=1,\\ (3)!!=3,\\ (5)!!=15, etc.).
Aplicando essa fórmula aos casos que precisamos:
  • Para n=0 (ou seja x^{0}):
I_0\equiv\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{1/2}}.
  • Para n=1 ( x^{2}):
I_2\equiv\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}}.
  • Para n=2 ( x^{4}):
I_4\equiv\int_{-\infty}^{\infty} x^{4} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \frac{3}{4}\,\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{5/2}}.
Vou usar esses resultados explicitamente nas integrais que faltam.

Passo 5

Mostrando \langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle=0 por cálculo explícito.
Escrevo o produto e o integral:
\langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\alpha x^{2}/2} \left(\frac{\alpha}{4\pi}\right)^{1/4}\left(2\alpha x^{2}-1\right) e^{-\alpha x^{2}/2}\,dx.
Juntando fatores exponenciais e^{-\alpha x^{2}/2}\cdot e^{-\alpha x^{2}/2}=e^{-\alpha x^{2}} e constants:
\langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4}\left(\frac{\alpha}{4\pi}\right)^{1/4} \int_{-\infty}^{\infty} (2\alpha x^{2}-1)\, e^{-\alpha x^{2}}\,dx.
Chamo de C_{02} o produto das constantes (não preciso do valor numérico para ver que a integral interna é zero, mas é fácil de avaliar se quiser):
\langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle = C_{02}\left(2\alpha\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx\right).
Usando I_2 e I_0 do passo anterior:
2\alpha I_2 - I_0 = 2\alpha\left(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}}\right) - \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{1/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{1/2}} - \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{1/2}} = 0.
Portanto \langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle = 0.
Interpretação física/matemática rápida: os coeficientes do polinômio foram escolhidos (são os primeiros polinômios de Hermite apropriados) de modo que a combinação com o peso gaussiano torne a integral nula.

Passo 6

Mostrando \langle\psi_{0}|\psi_{3}\rangle=0 por paridade.
\psi_{0} é par e \psi_{3} é ímpar, então \psi_{0}(x)\psi_{3}(x) é ímpar. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{0}(x)\psi_{3}(x)\,dx = 0.

Passo 7

Mostrando \langle\psi_{1}|\psi_{2}\rangle=0 por paridade.
\psi_{1} é ímpar e \psi_{2} é par, então o produto \psi_{1}(x)\psi_{2}(x) é ímpar. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\,dx = 0.

Passo 8

Mostrando \langle\psi_{1}|\psi_{3}\rangle=0 por cálculo explícito (produto de ímpares → integrando dá função par; preciso avaliar).
Escrevo o produto:
\langle\psi_{1}|\psi_{3}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{1/4} x e^{-\alpha x^{2}/2} \left(\frac{\alpha^{3}}{9\pi}\right)^{1/4}\left(2\alpha x^{3}-3x\right) e^{-\alpha x^{2}/2}\,dx.
Juntando exponenciais e constantes:
\langle\psi_{1}|\psi_{3}\rangle = C_{13}\int_{-\infty}^{\infty} \left(2\alpha x^{4}-3x^{2}\right) e^{-\alpha x^{2}}\,dx,
onde C_{13}=\left(\frac{4\alpha^{3}}{\pi}\right)^{1/4}\left(\frac{\alpha^{3}}{9\pi}\right)^{1/4} é o produto das constantes de normalização.
Agora uso I_4 e I_2 do passo 4:
2\alpha I_4 - 3 I_2 = 2\alpha\left(\frac{3}{4}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{5/2}}\right) - 3\left(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}}\right).
Calculo termo a termo:
2\alpha I_4 = 2\alpha\cdot\frac{3}{4}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{5/2}} = \frac{3}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}},
3 I_2 = 3\cdot\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}} = \frac{3}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha^{3/2}}.
Portanto 2\alpha I_4 - 3 I_2 = 0. Logo \langle\psi_{1}|\psi_{3}\rangle = 0.

Passo 9

Resumo e comentário final (motivador): mostramos todos os cinco produtos pedidos serem zero. Paridade simplificou três casos; nos dois casos restantes usamos integrais gaussianas e vimos que os polinômios multiplicadores foram justamente escolhidos para anular as combinações, o que é a essência da ortogonalidade das funções de Hermite com peso gaussiano. Manda ver na prova que é exatamente esse raciocínio que vale — paridade quando possível, integral gaussiana quando necessário. Você tá indo bem!

Resposta

\langle\psi_{0}|\psi_{1}\rangle=0
\langle\psi_{0}|\psi_{2}\rangle=0
\langle\psi_{0}|\psi_{3}\rangle=0
\langle\psi_{1}|\psi_{2}\rangle=0
\langle\psi_{1}|\psi_{3}\rangle=0

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